20100310109

Algebra liniowa IS

fcjgctmm    drugi poprawkowy

1.    Podać definicję grnpy i ristoŁ

Niech 5 := {(t, 2~*< 'AG fH'>- S zasiera więc trójki liczb rzeczywistych. D/Jijlwuv , elementami 5, {%\, tf\ _r2*}' i fau3to*t$* zdefiniowane jest przez (*i, J/ł,    - 'y »

a?2, 2/i2/2)    -^z)• Pokazać- i*- f:£'. jest grupę przemienną.

2.    Podać postać trygonomewyuzaię Ikxby zespolonej i reguły mnożenia, dzielenia i liczb zespolonych w poanari iri-gaŁamefciycznej. Omówić znajdowanie pierwiaotów fa At -yjc. spolonych,

(a)    Przedstawić w pnoatariś ttT^awciietjycznej i algebraicznej wyrażenie

(v^3 — i)¹⁶

(b)    Znaleźć pierwiastki zwep^ane trzeciego stopnia z liczby 27i. Wynik podać w •//&&. algebraicznej.

3.    Podać definicję przestrzeni Sróowg nad ciałem liczbowym. Jaki jest wymiar przestrzató V {(x,2/,z) : x = a -ł- f — 2*. 5f = a — u, 2 = t — u; s,t,u € fi). Podać przykład bazy dte tej przestrzeni. Zapśać tę pmeKtraeń w postaci V = {(x, y, z) : ax + by + ez + d % odpowiednio dobranymic„ b, ci d.

4.    Pokazać, że zbiór wektorów {{—L,l,l), (1,1,1), (1,1,-1)} jest bazą w iW fe$

pewien wektor v wektor ma współrzędne (2,3,1). Sprawdzić, czy zbiór wektorów    L Ijr. 2>_r

(0,1, -1)} jest też bazą w fi* L jeadfi tak, to znaleźć współrzędne wektora v w h&fe,

5.    Niech / : (xi,x₂,x₃rx₄j € fi⁴ —* (xi+x₂, 2x3+14) € fi². Wyznaczyć macierzoómsKtnrksóat w bazie kanonicznej. Wyznaczyć jądro i obraz odwzorowania (podać wymiary i fazy Ker li Im f). Znaleźć rząd odwzorowania. Jaka relacja wiąże rząd odwzorowania i z ómu Ker f?

6. Znajdź macierz przekształcenia / : fi⁴ —* fi² danego przez f{x,y, z,t) — (x+3g —22*x —'

2 — t) w bazach odpowiednio {(2,0,1,0), (—1,1,0,3), (0,1,1,0),(1,—1,2,3)J i

7.    Co to jest rząd macierzy? Znaleźć rząd macierzy

110 2*

2    3    14

-1 —4 -3 -2

3    2-16