kolokwium1a

Kolokwium z analizy matematycznej

MSZI, sem.I

1. Wykazać, że dla n G N prawdziwy jest wzór

l² + 2² + ... +n² =

n(n -f- l)(2n + 1)

6

2. Stosując definicję granicy ciągu punktów z rozszerzonej prostej wykazać, że

..    '    2n² + 3n 1

lim —--— -

n—>oo 4n² — 2n + 3    2

3.    Obliczyć granice następujących ciągów x_n = \/5n² — 2n ; y_n =

4.    Dana jest funkcja /(a:) = ^ ^ ^ dla x 6 M⁺ = [0,oo). Określamy g(x,y) = \ f(x) - f(y)|

dla r,|/6K⁺. Wykazać, że p jest metryką w R⁺ i wyznaczyć kulę o środku y — li promieniu r = 0,1 w tej metryce.

5*. Niech V oznacza objętość, a P pole całkowite prostopadłościanu. Wykazać, że P³ > 216F² i równość zachodzi tylko dla sześcianu.

Uwaga. Z zadań 1-4 należy wybrać trzy. Za rozwiązanie każdego zadania można uzyskać 6 punktów. Na ocenę dostateczną wystarczy uzyskać 10 punktów z dwóch wybranych zadań.