P4200272

ilokwadratowa Aproksymacja jednostajna r<

Uwaga:

Niech |J| < U, tj, V/,y \vy\ < Uy, gdzie Vy - elementy Jakobianu J i U = [Ujj\. Często możemy znacznie skrócić badanie zbieżności metody iteracyjnej dla układu równań badając wartości własne macierzy U. Gdy Jakobian jest macierzą symetryczną, to ||J||₂ = p{J), p{J) = max |A| -

A Gcr(J)

promień spektralny J. W przeciwnym razie badamy || J||₂ = {p(J^T J))¹/².

Twierdzenie 3.9

Dla dowolnej macierzy kwadratowej A zachodzi p(A) < p(|/\|),

= [|a,y|]. Natomiast jeśli A i B mają nieujemne elementy i A + B -nierozkładalna, tj. nie istnieje macierz permutacji P taka, że PAP^T = [ \ $], gdzie XiY - macierze kwadratowe, to p(A) < p{A + B)

Macierz B = [uy -1^|] - nieujemna i |J| + B = U. Jeśli p(U) < 1 i U nierozkładalna, to z powyższego mamy zbieżność metody iteracyjnej. Biorąc w Prz. 15 U = [^||ft mamy p{U) = (5 + >/73)/16.

©Zbigniew Bartoszewski (Politechnika Gdańska)