2808185803

WYKŁAD 15

SZEREGI

Niech:    (⁼⁵^tHl) - przestrzeń Banacha

k)„»^cX

n

tworzymy ciąg (s„L_w :    S_n =£a_fc

k=1

DEFINICJA 15.1 (SZEREGI)

(1) {KLn, (^snL_w>- szereg, oznaczenie szeregu (1): 53*-

k=ł

DEFINICJA 15.2

Szereg (1) jest zbieżny o ^{3 s}n = ^s, SeX,

S nazywamy sumą szeregu (1) i oznaczamy s = Y'a„

Tt=śL

TWIERDZENIE 15.1 (WARUNEK KONIECZNY ZBIEŻNOŚCI SZEREGU)

n

Z: szereg yV„ - zbieżny

k=i

t- lima_n =0

' n—

Dowód:

Z założenia    zatem s„ jest ciągiem Cauchy'ego,

tzn.    ^—,S<n| ⁼⁰,

m.neN    " ¹

w szczególności dla m=n-l, mamy: limllS — S ₁|| = 0 <=> limllg II = 0 <=> lim a_n = 0

n—¹¹    n—ko¹¹ 11    n—*»

PRZYKŁAD 15.1

X = R, a„=i