5910202079

12

I. PRZESTRZENIE BANACHA

Wynika z nich, że ciąg {y_n} jest zbieżny (do zera) w normie || ||2, a nie jest zbieżny w normie || ||i (nie jest nawet ograniczony). Q

Z powyższego twierdzenia wynika, że algebraiczny izomorfizm T przestrzeni unormowanej (X, || ||x) na przestrzeń unormowaną (T, || ||y) jest izomorfizmem topologicznym wtedy i tylko wtedy, gdy w przestrzeni X norma || ||i = || \\x i norma || ||2 określona wzorem ||:r||2 = ||T;r||y są równoważne.

1.20. Przykład. W przestrzeni C*¹ [0,1] funkcji mających ciągłą pochodną na przedziale [0,1] normy

llrclli = max \x(t)\ + max |rr^/(£)| t€[ 0,1]'    ¹ tG [0,1]    '

Ma = K°)l ⁺i“oi] 1*^

są równoważne. Nierówność ||x||2    ||x|| i jest oczywista. Z drugiej strony x(t) =

z(°) + Jo x'(s) ds, więc

max |a;(t)| < |ar(0)I + max |x^,(s)| = llzlb, *€[0,1]    *e[0,i]¹¹

stąd ||x||i < 2 ||ar||₂-1.21. Zadanie. Pokazać, że w przestrzeni C[0,1] normy

nie są równoważne.

1.22. Twierdzenie. W przestrzeni skończenie wymiarowej każde dwie normy są równoważne. Unormowana przestrzeń skończenie wymiarowa jest zupełna.

Dowód: Określimy w przestrzeni skończenie wymiarowej X pewną normę || ||i i pokażemy, że każda inna norma || || jest z nią równoważna.

Ustalmy w tym celu bazę Hamela ei, e2,..., e_m przestrzeni X i dla elementu x € X postaci

^x = ^{Xk e}k

k=l

połóżmy

IMIi = ,max |ar_fc|.