5910202085

18

I. PRZESTRZENIE BANACHA

Produkt przestrzeni

Niech (X_k, || \\k), k = 1,2,    będą przestrzeniami unormowanymi nad

tym samym ciałem (R lub C). produktem (topologicznym) Hfc=i ^xk nazywamy produkt kartezjański zbiorów X_k z działaniami i normą określonymi następująco:

(ari,a?2,... ,x_k) + (x'₁,x'₂, ...,x'_k) = (aą +x\,X2 + x₂,. • .,x_k+'_k),

X (x\,X2, ■.. ,x_k) = (Aaą, Xx2,... ,x\k),

||(a:i,a:2,...,x_fc)|| = ^||ar*||fc.

fc=l

1.31. Fakt. Produkt Yl^= \X_k przestrzeni unormowanych jest przestrzenią Banacha wtedy i tylko wtedy, gdy każda z przestrzeni X_k jest zupełna.

1.32. Przykład. Przestrzeń Cⁿ[a, b] funkcji mających ciągłe pochodne do rzędu n włącznie jest izomorficzna z produktem Cⁿ x C[a, b]. Istotnie, funkcja / jest wyznaczona jednoznacznie przez wektor (/(a),    ..., /(^n-1)(a)) i funkcję

. Można w tym celu użyć wzoru Taylora

i

(t - a)^k +

Definicja. Jeżeli X jest przestrzenią liniową oraz X\, X2, . .., X_n takimi jej podprzestrzeniami, że

n    n

lin X_k = X oraz X_k D Xj = {0}, k = 1,2,... ,n,

fc=l    i=i

i**

to X nazywamy algebraiczną sumą prostą podprzestrzeni X_k. Każdy wektor x ma wtedy jednoznaczne przedstawienie x = Ya:=i ^xk > gdzie x_k G , a odwzorowanie <p : (xi,X2, ■ ■ ■ ,x_n) —► Ylk=i^xk jest algebraicznym izomorfizmem UU ^Xk ^na X. Jeżeli założymy dodatkowo, że X jest przestrzenią unormowaną, to odwzorowanie ip jest ciągłe. Gdy jest ono izomorfizmem (topologicznym), to X nazywamy sumą prostą (topologiczną) podprzestrzeni X_k i piszemy X = X\ 0 X2 0 ... 0 X_n.

1.33. Zadanie. Wykazać, że przestrzeń C[— 1,1] jest sumą prostą dwóch swoich domkniętych podprzestrzeni, złożonych odpowiednio z funkcji parzystych i funkcji nieparzystych.