2104510615

18

3. Przestrzeń macierzy. Macierze odwzorowań liniowych

Przetłumaczmy na język macierzy uwagi na temat równań wypowiadane wcześniej.

(1)    Aby istniało rozwiązanie potrzeba i wystarcza, by przestrzenie rozpięte na kolumnach macierzy A = [ai,...,a_n] i [A, b] = [ai,..., a_n, b] były równe. Do tego potrzeba i wystarcza, by ich wymiary były równe czyli, by rz A = rz[A, 6] (tw.Kroneckera-Capelliego).

(2)    Jeśli m = n, to równanie Ax = b ma dla każdego b dokładnie jedno rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje A~^l. Wówczas x = A~^lb.

(3)    Dodając do równania kombinację liniową pozostałych dostajemy układ równoważny, tzn., mający te same rozwiązania. Operacja ta odpowiada przejściu do innej bazy w przestrzeni W. Można zmieniać bazę również w przestrzeni V, ale ze względów praktycznych tego się nie robi.

Przykład: Rozwiążmy układ równań

5xi	+	3X2	+	5x3	+	12^4	= 10
2x\	+	2X2	+	3x3	+	5X4	= 4
xx	+	7X2	+	9x3	+	4x4	= 2

Szukamy możliwie prostego układu równoważnego. Macierz układu A jest równa

A =

5

2

1

3 5 2 3 7 9

12

5

4

Przez ~ oznaczę, że macierze dają układy równoważne. Mamy więc

'5	3	5	12	10'		1	7	9	4	2
2	2	3	5	4		0	-12	-15	-3	0
1	7	9	4	2		0	-32	-40	-8	0

'1	7	9	4	2		1	3	4	3	2'	[4	0	oc a 7
0	4	5	1	0		0	4	5	1	0	~[o	Ą	5 1 oj
0	4	5	1	0		0	0	0	0	0		1

Otrzymaliśmy

xi = ^(8 + X3 — 9x4) X₂ = ^(-5X3 ~Xi).

■2'		■ 1 '		--9-
0 0	+ a	-5 4	+0	-1 0
.4.		. 0		. 4 .