Rozdział 2. Odwzorowania liniowe

BOISKO: dwie przestrzenie wektorowe 2.1. Definicja i postawowe własności.

DEFINICJA 2.1. Niech V, W będą przestrzeniami wektorowymi. Odwzorowanie F:V —> W nazywamy liniowym, jeżeli \/vi,v₂ (E V i VAi, A2 £ K,

jF(AiVi + A2U2) = XiF(vi) + X₂F(v2)-

Równoważnie, odwzorowanie jest liniowe, jeżeli spełnione są dwa warunki:

F(v 1 + v₂) = F(ui) + F(v2) i F(Xv) = XF(v).

Inaczej mówiąc: najpierw wykonać działania, a wynik „przetransportować” przy pomocy F to to samo, co najpierw przetransportować składniki działania, a potem je „złożyć”.

Z definicji odwzorowania liniowego wynika natychmiast, że

F( 0) = 0.

Istotnie, F(0) = F(0 • 0) = 0 • F(0) = 0.

Przykłady.

(1)    V = C{[—1,1]) - przestrzeń funkcji ciągłych na odcinku [—1,1] i W = IR¹. Definiujemy odwzorowanie F:V —> W wzorem F(f) = /(O). Liniowość F jest oczywista.

(2)    V = C¹(]a,6[) (przestrzeń funkcji różniczkowalnych na odcinku ]a, &[), W = ^(IR¹) i F(f) = f (pochodna funkcji /).

(3)    Znów V = C([— 1,1]) i W = IR¹. Tym razem

(4) V = W = IR¹. Które z odwzorowań:

Fi(x) = x², F₂(x) = x + 1, F₃(x) = 4x

jest liniowe?

Odwzorowania liniowe z V do W można dodawać i mnożyć przez liczby w/g poniższego przepisu

(F + G)(v) = F{v) + G{v), (A F)(v) = X (F{v)).

Pokażemy, że tak otrzymane odzorowania też są liniowe. Inaczej mówiąc, tworzą one przestrzeń wektorową.

9