2104510623

7

1.2. Liniowa niezależność. Baza

DEFINICJA 1.15. Liczbę wektorów bazy przestrzeni wektorowej V oznaczamy dim V i nazywamy wymiarem przestrzeni V.

Przykłady:

(1)    dimMⁿ = n. Jako bazę możemy wybrać układ (ei, e2,..., e_n) (przykład po Definicji 1.11).

(2)    Przestrzeń W3 wielomianów stopnia ^ 3 jest wymiaru 4. Przykładowa baza:

(1,t,t²,t³).

(3)    Przestrzeń V jest przestrzenią wielomianów stopnia ^ 3 i takich, że 1 jest ich pierwiastkiem. Jako bazę możemy wybrać wielomiany t — l,t(t—l),t²(t — l).

Warto tu mieć na uwadze następujący, pożyteczny fakt:

TWIERD ZENIE 1.16. Dowolny ciąg wektorów liniowo niezależnych w przestrzeni V da się uzupełnić do bazy tej przestrzeni.

1.2.1. Dalsze przykłady przestrzeni wektorowych.

(I) Niech V i W będą przestrzeniami wektorowymi. Iloczyn kartezjański V x W z działaniami:

a)    (u, w) + (vw') = (v + v\w + w')

b)    X(v, w) = (Xv, A w)

jest też przestrzenią wektorową. Nazywamy ją iloczynem kartezjańskim przestrzeni wektorowych V i W.

Jeśli układ (ui,--- ,v_n) jest bazą V i układ (uą,--- ,w_m) jest bazą W, to układ n + m wektorów

((»l-0),--' ,(v„,0),(0,Wi),    ,(0,w_m))

tworzy bazę V x W.

Stąd mamy

STWIERDZENIE 1.17. dim(V x W) = dim V + dim W

Niech V będzie przestrzenią wektorową i niech W\, W2 C V będą jej podprze-strzeniami. Wówczas

(J)    Wi fi W2 jest podprzestrzenią wektorową

(K)    Zbiór W\ U W2 nie jest w ogólności przestrzenią wektorową. (Jeżeli jest, to W\ C W2 lub W2 C W\.) Sumą algebraiczną podprzestrzeni W\ i W2 nazywamy podprzestrzeń (W1UW2) i oznaczamy ją W1 + W2. Jest to najmniejsza podprzestrzeń zawierająca W\ i W2.

Uwaga. Reprezentacja wektora v € W\ + W2 jako sumy v = wi + W2, gdzie w\ £ W\ & W2 £ W2, nie jest na ogół jednoznaczna np. dla W\ = W2 = W mamy Wi + W2 — W lw = 0 + w = w + 0.