80 81 (16)

80

Bazę obrazu stanowią dwa liniowo niezależne generatory obrazu, np. wektory (i,— 2, 1), (0, 1—1). Obraz przekształcenia L ma swoją interpretację geometryczną. Jest to płaszczyzna o równaniu z+y-ł-z — 0w przestrzeni Ji°

d) Niech p = ar² + bx -f c, gdzie a,b c € R będzie dowolnym wektorem z przestrzeni Ri[z). Wówczas

[Lp)(t) = (z² + 2r) ( —2az + b) = —2ar’ + (6 — la)x² + 2br.

Dalej (£p){x) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy —2a = 0, b — 4c = 0, 2k = 0, czyli a = 6 = 0 i p(z) = c. Stąd wynika, że

Ker L = {p 6 /2a[x] : p(r) = c. c € J?} .

Jądrem przekształcenia L są zatem wszystkie wielomiany stałe, wymiar jądra jest równy 1, a bazą jest np. wielomian q{z) = 1. Zauważmy dalej, żc (Zp)(z) = a (-2z³ — 4z²) + 6 (x² + 2r) . Stąd wynika, że

Im L = lin {— 2x³ — 4x²,x² + 2z } .

Wymiar obrazu jest równy 2, a dwa znalezione generatory tworzą zarazem jego bazę.

• Przykład 8.7

Podać wymiary jąder i obrazów następujących przekształceń liniowych:

a) L : R³ —♦ it² L(z, y z) = (z - 3y — 2z, —2r -f 6y - 4z)\

b) L : R* —* R³, L(z. y, z, i) = (z + 2y + z — t, x + 2z -ł-1,2x + y + 3<).

Rozwiązanie

Skorzystamy z twierdzenia, które mówi, że suma wymiarów jądra i obrazu przekształcenia liniowego L : U—► V przestrzeni skończenie wymiarowych jest równa wymiarowi przestrzeni U.

a) W tym przykładzie Im L = lin {(1, —2), ( —3,6), (2,-4)), zatem

dim (Im L) = rz

= 1.

Z tego wynika, że dim Ker L — dim R* -1=3-1= 2.

b) Rozumując podobnie mamy Im L = lin {(1,1,2), (2,0,1), (1,2,0), (—1,1,3)}, a więc

dim ( Im L) = rz	' 1 2 1 -1' 10 2 1	= rz	’ 1 2 l -1' 0-212
	.210 3		.0-3-2 5.

= 3.

Ponadto dim ( Ker L) — dim R^Ą - 3= 4—3 = 1.

• Przykład* 8.8

Podać przykłady przekształceń liniowych takich, ze:

a) L : R²—^R³, Ker L = {(x, 0) : x€ il} , I mL= {(r,s,<) ; 2r = 3s = 6t} ;

b) L R^ą—>R², Ker L = {(z, —z, z,-z) : z,z e R],

Im L = {(* + f,« — t) : s,t € -R);

c)    L : i^2[-^) —♦ -RjIz], Ker 7, = lin {z — I,x² — l} , ImL = lin {z²} .

Ósmy tydzień - zadania

Rozwiązanie

a} Zauważmy, że L(x,0) = (0,0, 0) dla z £ R oiaz Im L = {(3t,2f, <) : i G R) Ponadto V) = £((*, 0) -r (0, y)) = L(z, 0) + L{0, y) = yl(0,1).

Przyjmując teraz, 2c L((), 1) = (3c.2c, c) ora z pewnego c ^ 0 otrzymamy

£(*,y) = (3cy, 2cy, cy).

b) Generatorami jądra przekształcenia L są wektory fii = (1,-1,0,0), fi₂ = (0,0,1,-1). Uzupełniamy jc do bazy przestrzeni J?⁴ dodając na przykład wektory ij = (1,0,0,0), u* = (0,0, C, 1). Wówczas dowolny wektor u = (x,y, z, l) € fi⁴ można zapisać w postaci

U - X ił3 + y (*3 - fiJ ) + z { *2 + fi₄) + t fi*

= -yfii -f 2ti₂ -ł- (z + y)fi₃ + (z + t)fi₄.

Dalej mamy

L{u) = -yL (fii) + zL (fi₂) -ł- (x -t- y)L(u₃) + (z + <)Z,(fi₄).

Wektory fij, fi₂ należą do jądra, więc L( iii) = ^{^2) = 0. Generatorami obrazu przekształcenia L są wektory t3₂ = (1,1), v₂ = (1,-1). Przyjmijmy więc przykładowo, ze L (fia) = fi|, L (fii) = t’₂. Ostatecznie otrzymujemy

L (fi) = (x + y)v 1 -I- (z + t)v2,

czyli

L(z,y,z_f1) = (z + y-M+f,x + y- * — <)•

c) Niech p_} = r — l, p₂ = r²-l. Oczywiście Ip- =■ Lp₂ = 0. Wektory p_l} p₂ uzupełnimy do bazy przestrzeni liniowej R? z] dodając na przykład wektor p₃ = 1. Niech teraz p = ai² + !>x f c będzie dowolnym wektorem z przestrzeni i?₂[z]. Zauważmy, że

V - a(P₂ + P3) + MPi + Pi) + <"P₃ =    + aj>₂ + (* + & + c)p_2:

zatem

/,» = bL(p_l) + aL (j>₂) + (a + & 4- c)I (p₃) = (a -f b + c)Z, (p₃)

Wektor Z,(p₃) należy do przestrzeni lin {r^-*} . Przyjmijmy więc, że L(p₃) = r². Szukane przekształcenie /. może mieć zatem postać L(p) = (a — b + c)z² lub zapisując inaczej L(p) = x²p(l)

Zadania

O Zadanie 8.1

Uzasadnić liniowość wskazanych przekształceń przestrzeni liniowych: a) L : jR³ —* ii², Z(x, y, z) = (x + y, 2x - y + 3z);

b) f,

c)    L

R

R^£ L jest obrotem o kąt — wokół punktu (0,0), R³, L jest symetrią względem płaszczyzny yOz\

d) L : K[z] — R³, (Lp)(x) = | y p(t)dt, p'(2), p"(3)J dla p e *[*];

e) L C(-R)—* H₂[i], (Lf)(x) =°x²f(2) + r,f(l) + /(O) dla /6 CfiJ).