89704

.leżeli B jest ustaloną bazą przestrzeni V, to odwzorowanie liniowe F : V —♦ W jest w zupełności wyznaczone przez swoje wartości przyjmowane na elementach bazy B, czyli układ F(B). Istotnie, dla każdego wektora v € V mamy przecież v = BMb(v), więc

Fv = F(BM_b(v)) = (na mocy powyższej równości związanej z liniowością) = F(B)Mb(v).

Niech teraz C będzie dowolną bazą przestrzeni W. Biorąc Mc po obu stronach i korzystając ze wspomnianej już liniowości odwzorowania Mc, dostajemy

M_c(Fv) = M_c(F(B)M_b(v)) = M_c(F(B))M_b(v),

czyli

M_c(Fv) = M_c(F(B))M_b(v);

inaczej mówiąc,

jeżeli X = Mh(v), Y = M_c(Fv), to Y = AX. gdzie A = A/_C(F(B)) = Xfg{F).

Inaczej mówiąc, kolumnę współrzędnych Y obrazu Fv dowolnego wektora u € V w ustalonej bazie C przestrzeni W otrzymujemy mnożąc kolumnę współrzędnych X tego wektora w bazie B przez ustaloną macierz A = M_C(F(B)).

Z kolei, stosując powyższe stwierdzenie kolejno do poszczególnych wektorów u, bazy B = (vy, v₂,... , v_n) otrzymujemy, że kolejnymi kolumnami macierzy A są kolumny współrzędnych kolejnych wektorów Fi\ w bazie C, gdzie B = (tą,..., v_n) (własność tę możemy stosować do wyznaczania tej macierzy). Macierz A = Mc(F(B)) nazywamy macierzą odwzorowania liniowego F przy ustalonej bazie B pierwszej przestrzeni (przestrzeni, na której odwzorowanie jest określone, dom F) i bazie C drugiej przestrzeni (w którą przekształca to przekształcenie, codom F) i oznaczamy przez M£(F). Tak więc M£(F) = Mc(F(B)).

W szczególnym przypadku, gdy V = W, tzn. gdy F jest operatorem liniowym, możemy (choć wcale nie musimy) wybrać C = B i mówić o macierzy operatora liniowego F w bazie B, czyli MH(F). Zauważmy także, że jeżeli V = W i F jest identycznością na V, to M§(id V) = Mc(B), czyli jest to omówiona już wcześniej macierz zmiany bazy.

Łatwo pokazać, że jeżeli przestrzenie wektorowe Vi.V2.V3 są skończenie wymiarowe, B, jest bazą V, (i = 1,2,3), zaś F : Vi —* V₂ i G : V₂ —+ Vz są odwzorowaniami liniowymi, to ich złożenie G o F = GF : V\ —* V₃ (które, jak już wspomniano, jest również odwzorowaniem liniowym) w odpowiednich bazach ma macierz

M“'(GF) = M%(G)Mg(F).

Z powyższego wynika w szczególności, że odwzorowanie liniowe F : V —* W posiada odwzorowanie odwrotne G = F^_1 : W —♦ V wtedy i tylko wtedy, gdy jego macierz Mq(F) jest macierzą odwracalną (a więc w szczególności kwadratową), i wtedy A/£(F^-1) = [M^(F)]^_I.

Pozostaje wyjaśnić, jak zmienia się macierz M%(F) przy zmianie bazy (w jednej lub w obu przestrzeniach), a w szczególności jak zmienia się macierz A///(F) przy zmianie bazy B. Oto odpowiednie wzory (F : V\ —* V₂, Bi. B\ - bazy w V*, i = 1,2):

M%(F) = M_n.(B₂) ■ A/g(F) • A/„,(Bi) =    ■ M*(F) ■ M_b,(B\);

w szczególności gdy V\ — V₂, By = B₂ = B, B[ = B'₂ = B¹ mamy

M%(F) = AMB) • Mfj(F) ■ U„(B') = [A/«(B')]-' ■ M°(F) ■ AI„(B')

czyli

Mg(F) = N~^l ■ Mg(F) ■ 1V

gdzie N = M_b(B') - macierz przejścia.

Zadania.

Xi	\
*2
		53.
.^X\	/

2x_t + x₂ *2

1) Które z następujących przekształceń są liniowe?

: b) F : R² - R. d) F : R² -* F²,