115862

Wyznaczanie współczynników reprezentacji

Układ równań macierzowych

v, v₂ Vj-V jest bazą przestrzeni,    wtedy w-aV

Jak wyznaczyć a znając »' i V ? wV~'-a

-    baza ortononnalna - najprostszy przypadek

-    warunki istnienia bazy są wystarczające do istnienia odwrotności macierzy V

-    istnieje wiele metod znajdowania odwrotności macierzy (np procedura ortogonalizacji Grarnma- Sclunidta)

V = eye(3) w = [ 3, 5, -3) alfa = w/V

V = 2*eye(3) alfa = w/V

a co będzie dla bazy innej?

V    - [2,0,1; 0, 3, -1; 5,-2,0] czy to w ogóle baza?

v1 = V(:,1); v2 = V(:,2); v3 = V(:,3)

vl*v2'

itd.

Sprawdź to samo dla macierzy

V    - [ [2;0;6], [0;3;-2], [1;0;3]]

Aproksymacja z błędem

Jeżeli dysponujemy zbiorem zupełnym (danej przestrzeni) czyli bazą to współczynniki o,,«_v=a aproksymują nam dowolny wektor w przestrzeni bez błędu A co jeżeli mamy zbiór wektorów bazowych niezupełny ?

-    Dowolne elementy są ortogonalne(prostopadle) w przestrzeni wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn skalamy jest równy zero.

-    twierdzenie o rzucie ortogonalnym

Jeżeli D₀ jest podprzestrzenią przestrzeni HUberta V każdy element x£V da się przedstawić jako:

x= x₀+;, gdziex„e V₀iz± V₀

Element v₀ jest rzutem ortogonalnym elementu x na podpizestrzeń V₀ (narysować rysunek)

-    z powyższego wynika zwiększenie wymiaru przestrzeni