2104510609

12

2. Odwzorowania liniowe

Dowód:

(1)    Jeżeli Wi,W2 6 F(V) to istnieją wektory Vi,V2 € V takie,że W\ = F(vi) i W2 = F(v2). Stąd A¹«;i+A²«;2 = X¹ F(v\) + X²F(v2) = F(X¹v\ + X²V2), więc A¹^! + X²W2 S F(y).

(2)    Jeżeli F(v 1) = O i F(v2) = O to F(A*ui + A²^) = A¹F(i;i) + X²F(v2) — 0.

Wniosek: Jeżeli U (Z V jest podprzestrzenią wektorową i F: V —> W jest liniowe, to F(U) C W też jest podprzestrzenią wektorową.

Terminologia i oznaczenia:

Podprzestrzeń wektorową F(V) przestrzeni W nazywamy obrazem odwzorowania liniowego F i oznaczamy im F. Podprzestrzeń wektorową F^-1 (0) przestrzeni V nazywamy jądrem odwzorowania liniowego F i oznaczamy ker F.

STWIERDZENIE 2.8. Niech F:V—>W będzie odwzorowaniem liniowym. Wówczas

F(v 1) = F(v2) ■<=>■ V\ — V2 € ker F.

Wnioski:

(1)    F jest injekcją wtedy i tylko wtedy, gdy kerF = {0},

(2)    F jest izomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy im F = W i ker F = {0}

A teraz ważne twierdzenie, przypominające nieco Twierdzenie 1.19 TWIERDZENIE 2.9. Jeżeli F € L(P, W) to

dim V = dim(ker F) + dim(im F).    (2.2)

Wnioski:

(1)    F € L(P, W) i F jest surjekcją, to dim V ^ dim W,

(2)    F e L(F, W) i F jest injekcją, to dim V ^ dim W,

(3)    dim V > dim W, to kerF 7^ {0}

2.3. Równania liniowe (teoria ogólna).

Równaniem liniowym nazywamy równanie postaci F(x) = b gdzie F € L(P, W), b € W. Inaczej mówiąc, szukamy x € V takich, że Fx = b. Jeśli b = 0 to równanie nazywamy jednorodnym a jeśli b ^ 0 to równanie nazywamy niejednorodnym. Fakty oczywiste:

(1)    Aby zbiór rozwiązań równania Fx = b był niepusty (inaczej mówiąc - aby istniało rozwiązanie równania Fx = b) potrzeba i wystarcza, by b G imF.

(2)    Jeśli b = 0, to zbiór rozwiązań jest niepusty (F0 = 0).