128 3

(12.

wyrażenia nieoznaczone postaci ~

₂₎ Jeżeli 1° /(<*)=*(«) = 0, 2° pochodne f(x) i g'(x) istnieją w otoczeniu punktu i są w tym punkcie ciągle (»), 3° g'(a)^0, to

f(x) f\a)

Rozdział XII

WYRAŻENIA NIEOZNACZONE. REGUŁA DE LHOSPITau

lim---.

*-« g (•*) g'(a)

§ 12.1. WYRAŻENIA NIEOZNACZONE POSTACI jj

Przy rozważaniu wyrażeń nieoznaczonych wygodnie jest operować pojęciem sąsiedztwa punktu.

Przez sąsiedztwo punktu x=a rozumiemy zbiór wszystkich x spełniających nierówność 0<\x — a\<r, gdzie rjest dowolnie ustaloną liczbą dodatnią.

Sąsiedztwo punktu x = a jest więc otoczeniem tego punktu, z którego sam punkt x=« został wyłączony.

Przez lewostronne sąsiedztwo punktu x-a rozumiemy zbiór wszystkich x spełniających nierówność a — r<x<a dla dowolnie ustalonego r>0.

Analogicznie określamy prawostronne sąsiedztwo punktu x = a.

Rozważmy iloraz funkcji /(x): g(x) określonych w pewnym sąsiedztwie punktu x=a. Mówimy, że iloraz ten w punkcie x-a jest wyrażeniem nieoznaczonym postaci 5, jeżeli

(1)    lim/(x)=iO i    limg(x) = 0.

x-*a    x — a

Jednak mimo tych warunków może istnieć granica ilorazu

jjwaga. Funkcje f(x) i g(x) mogą być tak skomplikowane (nawet gdy mają ciągłe ^hodne wszystkich nieskończenie wielu rzędów), że reguła de L’Hospitala nie prowadzi jo celu; np. może być f ^>(a)=g^< >(n)=0 dla każdej naturalnej wartości n, pomimo że

istnieje. W poniższych zadaniach przypadki takie są pominięte.

fi 8

Ody funkcje f(x) i g (z) są określone w jednostronnym sąsiedztwie punktu, to wszystkie powyższe określenia, twierdzenia i uwagi mają również miejsce przy odpowiednich modyfikacjach.

Niech funkcje J (x) i g(x) będą określone w pewnym lewostronnym sąsiedztwie punktu ,=a, tzn. dla x spełniających nierówność:

r

Niech będzie przy tym

a —S<x<a przy    <5 > 0.

lim/(x) = 0    i lim g(x) = 0.

*-*«-O    *-o-0

W tych warunkach reguła de L’Hospitala (12.1.1) przybierze następującą postać: 12.1.3) Jeżeli w przedziale (3) istnieją pochodne f'(x) i g'(x) oraz istnieje granica

f'(x)

lim ——,

x~*a- 0 g (X)

(2)

lim

x~*a

/(*)

g(x)'

> istnieje też granica lim

f(x)

og{x)

i ma miejsce równość

Do wyznaczenia tej granicy nie możemy stosować twierdzenia o granicy ilorazu, gdyż limg0c) = 0. Niektóre metody obliczania granicy (2) przy warunkach (1) poznaliśmy

x-*o    «

w rozdziale V. Inną metodą, opartą na rachunku różniczkowym, jest tzw. r egu ta

V Hospitala:

(12.1.1) Granica ilorazu dwóch funkcyj dążących do zera przy x-*a i mających pi^er pochodne w pewnym sąsiedztwie punktu x = a jest równa granicy ilorazu pochodny⁽h ^l> funkcyj przy x->a, jeśli granica ta istnieje:

/(*) ,. /'(*) lim —— = lim ——

t-*a — 0&\X)    x-+a — O £ \Xj

Podobnie jest dla prawostronnego sąsiedztwa, tylko przedział (3) trzeba zamienić na Odział a<x<a + 3 przy <5 >0 oraz symbol x-*a-0 zastąpić wszędzie symbolem x-*a+ 0. Pcguła de L’Hospitala w przypadku gdy x-» + oo:

Jeżeli funkcje J(x) i g(x) są różniczkowalne dla x> M, gdzie M jest to pewna I dana, i jeżeli lim /(x) = 0 i lim g(x) = 0, to

.. /(*) ,. /'(*)

lim--- lim-.

x-og(x) g (x)

Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe gdyż granica ilorazu lim (f(x)/g(^x^ istnieć także wtedy, gdy lim(f(x)/g’(x)) nie istnieje.

.. -_e licz^łlf

Podamy jeszcze specjalny przypadek reguły de L'Hospitala, który znajduj praktyczne zastosowania:

lim    .lim

X-* + 00

,    , — Jim--,

g(x) _x~_+a>g'(x)

■“•li

donica

po prawej stronie wzoru istnieje.

00 otrzymujemy regułę analogiczną.

trunków 1° i 2° wynika warunek (1).