134 2

266 XII. Wyrażenia nieoznaczone

Zadania

Obliczyć granice (zad. 12.15- 12.65):

ln x

12.16. lim ---

*-1+0 Jx² — l

a—yja²—x²

12.18. lim -x- , _a>0.

x-.0    X

-X _ -x

e — e

12.15. lim - .

x->0 ^x

qX_

12.17. lim -, a>0, b>0.

x-0 x

\/a +x — s/la

12.19. lim — - -----—— , a>0.

*-« y/ a +2x—\J3a

12.21. lim --.

x—0 X cosx

_atox

12.23. lim —, a>0. Wskazówka.

x- + oo X^C

12.20. lim

e* — e~

x—o sin x

12.22. lim m(Xjx-1).

x-+ + 00

Jeżeli a>b i b>0, to a'^ob=b'^na.

12.24. lim

sinx—xcosx

12.25. lim

tgx-l

*-0 x

12.26. lim

_n-x „sin x

e —e

12.28. lim

x->k (n—x)—siax

1 —sinx+cosx

12.27. lim

x-*n Sin X — cos X

x— sinx

x-.*n sin2x—cosx

-i

12.29. lim

*-o x

2 sin² x +sin* — 1

12.30. lim

x—0 Ctg X

12.31. lim

2sin²x—3sinx + l tg2x

tg(i7l+x)

12.32. lim

x sm — *

x-* + oo 2x—1

12.34. lim tg (—) (e^sin*-e^iiax). x-*a \ 2.CL J

ax—tsax 12.33. lim-— ■

x—o bx-tg bx

12.35. lim (a — x) tg

/ TtX 71 \

U "z

,2.36.

► + oo X

12.38. lim

e^2x—1

-o!n(l +2x)

12.40. lim —x²ln ^1+—

12.37. lim (1-0 ctg x.

x-0

12.39. lim fp—r~~y x-i \lnx lnx/

12.41. lim (ti — 2 arctg x) ln x.

X-* + 00

Zadania

267

12.51. lim (    ---

*-0 \2*²    2* tg*

12.42. lim (1 — x) ln (1 — x). *-i-o

x²-l .

12.44. lim—₂- tgjnx.

*-i x

12.46. lim (-ij—ctg²x). *-o \x    J

12.48. Hm ( — - —).

x-*o \ x smx/

12.50. lim ——3- )

*-.o\* sin x)

12.43. lim (1 — x) tg 1 nx.

X-*l

12.45. lim tg 3* cos (3 TC+x). ¹²-⁴⁷-

x-*l \-^ —1 X—1J

12.49. lim(-\--Y-J.

*-0 \x sin x/

)•

12.52. lim

*-tgx

*—o * tg* 12.54. lim x^Ux.

x-* + 00

12.56. lim (tg*)^tgJ

x-* + 0,

12.58. lim/^-i^) *-o\    2    )

12.60. lim x^mKxl~^1}.

12.53. lim (xtgx:—j7tsecx).

x-*^rt

sin x

U*

X~* 1

12.55. lim ( —\

^x~*⁺ o \ x )

12.57. lim *^1/<1_x).

X-1

12.59. \im(e²x+x)^l/x.

x-*0

12.61. lim (tg±jc)^l/an*⁾.

x-* + 0

12.63. lim j

„tgx

12.65. lim

x~* "“-J-ic + O COS X

Wyznaczyć granice za pomocą rozwinięcia w szeregi (zad. 12.66 - 12.75):

12.66. lim    ^x _*) . Wskazówka. Por. zad. 12.42.

*—o    x³

!2.67. lim (i_!^±_²Y    12.68. lim (x-x²ln (l + -Y).

*-o\x x sin*/    *-+00 \    \    *//

i-,,_    4*³-6*+3sm2*

¹-‘-69. hm-—r-.

*-.0 x sin x

^j2.71. lim (1 •f*)^lnx.

x-0

.. /I 2sin*—2tg*\ 12.70. hm U+--r-5-).

x-*0 \X    X    /

12.72. lim *^<W ^{+ 2}'”*)_>

x-* +0