133 2

264 XII. Wyrażenia nieoznaczone

2° Jeżeli przy x-*a mamy w(x)-+0, y(x)->0, to mówimy, że wyrażenie (1) W punkcie x = a jest wyrażeniem nieoznaczonym postaci 0°.

3° Jeżeli przy x-*a mamy m(x)-+1 i jednocześnie u(x)-+ + oo lub — oo, to mówimy, że wyrażenie (1) w punkcie x =-a jest wyrażeniem nieoznaczonym postaci 1®. Ponieważ u(x) > 0, możemy zlogarytmować obie strony związku (1):

(2)    ln /(x) = u(x) ln u (x).

We wszystkich trzech przypadkach prawa strona równości (2) przy x-*a jest wyrażeniem nieoznaczonym postaci O oo. Granicę tego wyrażenia możemy wyznaczyć za pomocą metod podanych w § 12.3.

Jeżeli granicą wyrażenia po prawej stronie równości (2) przy x-*a jest wielkość A, to znaczy, jeżeli lim ln/(x) = A, to lim f(x)=e^A, gdzie <?jest podstawą logarytmów natural-

x-*a    x-*a

nych (wynika to z ciągłości funkcji wykładniczej).

Zadanie 12.12. Wyznaczyć lim (tgx)"^2x.

Rozwiązanie. Ograniczymy się do przedziału $n<x<łn; wówczas tgx>0, a tg2x jest skończone. Mamy tutaj wyrażenie nieoznaczone postaci oo°. Logarytmując funkcję /(x) = (tg x)‘*^2x otrzymujemy

ln /(x) = tg 2x ln tg x.

Wyrażenie po prawej stronie równości w punkcie x-^n jest wyrażeniem nieoznaczonym postaci 0-oo. Na podstawie przekształcenia

ln tg x

tg 2x ln tgx=—— ctg 2x

otrzymujemy wyrażenie nieoznaczone postaci Aby obliczyć granicę tego wyrażenia, stosujemy regułę de L’Hospitala:

1 1

A =

lim

ln tgx

x-*i*-oCtg 2x

tg x cos² x

lim    *— -.

—2

sin² 2x

Po wykonaniu przekształceń trygonometrycznych otrzymujemy A = — 2 lim (sin xcos x)=-2 • 1 • 0 = 0,

a więc lim (tg 2x ln tg x) = 0, skąd lim (tg x)¹⁸ 2x = e° = 1.

x-»^« - O    x ~ 0

Zadanie 12.13. Wyznaczyć lim x^x.

x~* + O

Rozwiązanie. Zakładamy, że x>0. Po zlogarytmowaniu funkcji /(x)=x* szukamy granicy

A= lim ln/(x)= lim (xlnx).

x-» + 0    x-* + 0

Następnie stosujemy przekształcenie

, ln x

x ln x=-.

1 *

które sprowadza wyrażenie nieoznaczone postaci 0 ■ oo do wyrażenia nieoznaczonego postaci s. Stosując regułę de L’Hospitala otrzymujemy

1

lnx    *

A= lim ——= hm — = — hm *=0.

x~* + 0 1    x-* + 0 — 1    x-» + 0

A więc gdy x->+0, to x ln .v->0 (porównaj wzór w zad. 12.10) i x^x->e° = 1, czyh ostatecznie

limx^x = l(¹).

»-o

Zadanie 12.14. Wyznaczyć hm ( 1+—

.x-» + co \    X

Rozwiązanie. Zakładamy, że 1H—>0,co zawsze ma miejsce dla x>|a|. Mamy tu wyrażenie nieoznaczone postaci 1".

Logarytmujemy funkcję /(*) = ( 1 H—

i szukamy granicy

lim

x+a

A- lim ln/(x)= lim (xln(l+—))= lim

x-> + oo    x-> + a> V V X ,

x~* + co 1 X

Stosujemy teraz regułę de L’Hospitala dla x-> + oo:

x -a

x + a x²    ax

A- hm - = hm -= a.

x-* + co    1    x~* + co XĄ~U

A. więc lim ln ^1 +—^ = a > czyli (por. zad. 2.9): ^fl2'⁵-l)    hm (l+—) =e°.

x~* + co \ X J

Podstawiając do tego wzoru x=l/n otrzymujemy lim $n = l.