130 3

258 XII. Wyrażenia nieoznaczone

więc mianownik przybiera postać

3 6

2³x

sW=^x-— ⁺ -

W ten sposób otrzymujemy

2x⁶

/(*)    T2^-TT^+-

lim —— = lim-g—

X~*0 A X

X —— +.,

♦0 g(x)

i po skróceniu przez x^Ą=£0 otrzymujemy

f(x) . lim -= lim

*-o g(x) _x-o

2x²

1

12

Zadanie 12.4. Natężenie prądu elektrycznego w obwodzie zmienia się według równania /=2/sin 3//. Wyznaczyć graniczną wartość mocy p-ri² traconej na oporze r = 5 fl, gdy czas /->oo.

Rozwiązanie. Moc elektryczna tracona na oporze r wynosi

p = 5 -4/² sin² — =20/² sin² —.

t    i

Aby wyznaczyć graniczną wartość mocy p, gdy /->oo, piszemy funkcję p w postaci

. , 3

p = 20

sin — t

]

i stosujemy regułę de L'Hospitala: . , 3

sin

/

lim p=20 lim-= 20 lim -

1-+00    t-*oo 1

?

6    3    3

—r- sin — cos — r    /    t

6    18    6

--J cos —

— =20 liml 9 cos —j = 180 •

3 sin —

t    t

= 20 lim -=20 lim -

i^-* oo    2    t oo    2

t

§ 12.2. WYRAŻENIA NIEOZNACZONE POSTACI ^

jeżeli lim/(x) = + oo oraz lim g(x) = + oo, to mówimy, że iloraz/(x): g(x) jest w pun-

x_»a+0    x-»a+0

j,_cj_e x = 0 wyrażeniem nieoznaczonym postaci

Tego samego określenia używamy zarówno w przypadku granic lewostronnych jak i granic obustronnych.

° Niech funkcje f(x) i g(x) będą określone i różniczkowalne w przedziale otwartym _a<x<b, przy czym g'(X)^0 dla każdego x z tego przedziału.

/'(*)

(12-2-1) Jeżeli lim f(x) = + co i lim g(x)= + oo,oraz istnieje granica lim    to

'    + 0    *-*<1+0    x-*a+0& \X)

/(*)    ..    f’(x)

hm -= lim -.

x~a + 0 g(X) x-a+Og(x)

Analogicznie:

/'(*)

(12.2.2)    Jeżeli lim /(*)= + oo i lim g(x)=+oo, ale istnieje granica lim , ' , to

J-1.-0    x-*b-0    x-b-og(x)

.. f(x) ..    f'(x)

lim -= lim -.

*-f>-ogU) _x-b-og(x)

Niech teraz funkcje f(x) i g(x) będą określone i różniczkowalne oraz g'(x)^0 w pewnym sąsiedztwie obustronnym punktu x=c.

f'(_x)

g’(x)’

(12.2.3)    Jeżeli lim/(x)=+oo i limg(x)=+oo, ale istnieje granica lim^—to

,. m f\x)

hm-=lim ■

g(x)

■ g\x)

Reguła de L’Hospitala pozostaje ważna również przy x-> + oo. Mianowicie niech funkcje ■^!,x) i g(x) będą określone i różniczkowalne oraz g'(x)źO dla wszystkich x>c.

(12.2.4) Jeżeli lim /(x)-> + oo / lim g(x)-> + oo, ale istnieje granica lim > to

X-*+00    Jf-» + 0O    x-* + oo & (.*/

g’(x)

>g(x)

. Analogicznie byłoby przy x-» — co, gdy f(x) i g(x) są dla każdego x<c określone ^{1 r}óżniczkowalne oraz g'(x)sżO.

?(*)

Założenie, że/(x)-+ + oo i g^j-^ + oo, nie jest istotne. Może być np. /(*)-* — co,

do

> + 00; w takim przypadku wyłączając —1 poza nawias otrzymujemy sprowadzenie

Przypadku, gdy /(*)-» + oc, g(x)-> + co. Zadanie 12.5. Obliczyć lim

+ o ctgx