Reguła� L Hospitala (1)

4. Wyrażenia nieoznaczone. Reguła de L’ Hospitala

4.1. Wyrażenia nieoznaczone typu:

- gdy funkcja jest ilorazem dwóch wielkości nieskończenie małych,

00

— - gdy funkcja jest ilorazem dwóch wielkości nieskończenie dużych.

CO

Jeśli funkcje /(x) i g(x) dążą jednocześnie do zera lub do nieskończoności, gdy x -» 0 lub gdy x —> oo, to zachodzi tzw. reguła de L” Hospitala

lim

/(*)

g(x)

= lim

f'(x)

g'(x) '

Jeśli granica ilorazu pochodnych istnieje lub jest ona równa nieskończoności, to jest ona rów-

0    oo

na poszukiwanej granicy. Jeśli iloraz pochodnych jest też wyrażeniem typu — lub —, to re-

0    oo

gułę de L’ Hospitala można stosować ponownie, nawet wielokrotnie, dopóki nie znajdzie się granicy.

1 -cosx

Zadanie 1. Obliczyć granicę lim

Rozwiązanie. Podstawiając x = O do licznika i mianownika otrzymuje się wyrażenie typu — . Stosujemy regułę de L’ hospitala.

.. l-cosx lim-x—

x

= lim

x-+0

— (1 -cosx) dx

= lim

sinx

2x

- lim

x-»0

d .

— sinx dx

cosx

= lim-

2

2'

Zadanie 2. Obliczyć granicę lim-.

ln(l + x)

Rozwiązanie. Podstawiając x = oo do licznika i mianownika otrzymuje się wyrażenie typu —.

oo

Stosujemy regułę de L’ hospitala.

d

—^x    1

lim-—-= lim , ^c^^x-= lim—-— = lim(l + x) = +°o .

1 + x

^jc^^ki ln(l + x) ^jr-^>0° j_n^ ₊    1

dx