CCF20090120085

dować się pewne wyrażenie zawierające xⁿ~ ^x. Jeszcze prostsza jest reguła dotycząca liczby stojącej przed x w drugiej kolumnie. Jest to ta sama liczba, która w pierwszej kolumnie występuje w wykładniku potęgi, a więc liczba n. Reguła jest zatem następująca: „Jeżeli wyrażeniem na przebytą odległość jest xⁿ, to wyrażeniem na prędkość jest nxⁿ~^v’.

Zauważmy, jak wiele pracy zawiera ta krótka reguła. Aby znaleźć prędkość ■odpowiadającą przebytej odległości x², musieliśmy wykonać szereg obliczeń; potem musieliśmy stwierdzić, że wzór 2x pasuje do otrzymanych wyników. Tę samą pracę musieliśmy wykonać także dla x³, x⁴, x⁵ i x⁶. Następnie zebraliśmy otrzymane wzory w tabeli lii stwierdziliśmy, że można je ująć w postaci jednej ogólnej reguły.

Znalazłszy ogólną regułę, możemy ją od razu stosować do każdego przypadku. Wzorowi y — = x¹⁷ będzie odpowiadała prędkość 17x^1€; wzorowi y = x⁹² — prędkość 92x⁹¹.

W mechanice i w innych zastosowaniach często mamy do czynienia ze wzorami zawierającymi x w kilku potęgach. Jeżeli np. rzucimy piłkę pionowo do góry z prędkością 40 stóp na sekundę, to jej wysokość po upływie x sekund wyniesie 40x—16x² stóp. (W rozdz. 8 podaliśmy ten wzór w nieco innej postaci. Była tam podana wysokość po upływie x ćwiartek sekundy.) Jak znaleźć prędkość piłki po upływie x sekund?

Rozwiązanie takiego zadania najlepiej rozłożyć na kilka etapów. Rozpatrzmy kolejno poszczególne kroki dające w sumie rozwiązanie.

1.    Jak szybko rośnie wyraz 40x? 40.t jest odległością, jaką przebyłoby ciało w ciągu x sekund, gdyby poruszało się ze stałą prędkością 40 stóp na sekundę. A więc wyrazowi 40x odpowiada prędkość 40.

2.    Jak szybko rośnie wyraz 16x²? Moglibyśmy otrzymać tabelę dla 16x² mnożąc wszystkie liczby dolnego wiersza tab. 7 przez 16. Inaczej mówiąc, jeżeli ciało porusza się zgodnie ze wzorem 16#², to po upływie dowolnej liczby sekund przebędzie ono 16 razy większą drogę niż ciało poruszające się zgodnie ze wzorem #². A zatem w każdej chwili musi ono poruszać się 16 razy szybciej. Ale wzorowi #² odpowiada prędkość 2#. Prędkość odpowiadająca wzorowi 16#² musi być 16 razy większa, musi zatem być równa 32x.

3. Wiemy już, że 40# rośnie stale z prędkością 40, a 16#² rośnie z prędkością 32#. Jak szybko będzie rosło 40#—16#²? Jak należy powiązać ze sobą obie powyższe prędkości?

40# —16#² otrzymuje się odejmując 16#² od 40#. Jak można to odejmowanie zilustrować? Możemy sobie wyobrazić, że 40# przedstawia dochód pewnego człowieka w dowolnej chwili, a 16#² — wydatki związane z utrzymaniem rodziny. Zarówno dochód, jak i wydatki rosną. 40# —16#² wyraża tygodniowe saldo owego człowieka po uwzględnieniu jego wydatków. Oczywiście, saldo to będzie rosło z prędkością uzyskaną z prędkości wzrostu dochodu minus prędkość wzrostu wydatków. (Jeżeli saldo maleje, wówczas prędkość ta będzie miała znak ujemny.) Prędkość wzrostu dochodu wynosi 40; prędkość wzrostu wydatków wynosi 32#. Prędkość wzrostu salda wynosi więc 40 — 32#. Obie prędkości łączymy przez odjęcie drugiej od pierwszej.

Dochodzimy więc do ostatecznego wniosku: wyrażeniu 40# —16#² odpowiada prędkość 40 — — 32#.

Przekonamy się, że powyższe rozumowanie można równie dobrze zastosować do każdego innego wyrażenia o podobnej postaci. Na przykład, wyrażeniu 4#³+#² + 3#+l odpowiada prędkość 12#^2Jr2# + 3. .(Liczba 1 nie ma żadnego wpływu: y — 1 oznaczałoby, że ciało stale znajduje się w odległości 1 od pewnego stałego punktu.

173