Reguła� L Hospitala (2)

2

4.2. Wyrażenia nieoznaczone typu 0 • co

Jeśli f(x)—>0 oraz g(x) —> co , to wyrażenie 0 • oo sprowadza się do postaci ^ stosując toż

samość

GO

/(*) ■ g(x) ■■

lub do postaci — stosując tożsamość

00

/(*) • g(x) =

/(*)

1

gO)

gO)

1_

/(*)

Zadanie 3. Obliczyć granicę lim(sinx • lnx).

x->0

00

Rozwiązanie. Wyrażenie ma postać O • co. Sprowadzamy je najpierw do postaci —, a potem

oo

do postaci

. O

d ,    1

,    —lnx

lim(sinx-lnx) - lim    = lim-^ -— = lim-—-

jr->0    x->0    1    *->o a 1    *->o cosx

sin² x

-lim

_x

smx

-lim

*->o

dx

dx sin x

sin² x

sin² x

dx

-x

2sinxcosx _

= -lim-= O.

i->0

4.3. Wyrażenia nieoznaczone typu co - oo

Wyrażenia typu oo - oo przekształca się do postaci — .

Zadanie 4. Obliczyć granicę lim

*-»0

1

1

yx sinxj

Rozwiązanie.

lim

jr->0

1 1

\x sinx y

_limsinx-x₌₁._m^_ ^x~>° xsinx *->o d dx

(sinx-x)

= lim-

cosx-l

(xsinx)

^x^° sinx + xcosx

-sinx

= lim-

^x~>° cosx + cosx-xsinx

= lim

jt-»0

— (cosx-l) dx_

— (sinx + xcosx) dx