0274

275

§ 4. Obliczanie nieoznaczoności

§ 4. Obliczanie nieoznaczoności

150. Wyrażenia nieoznaczone typu 0/0. Zastosujemy teraz pojęcie pochodnej i twierdzenia udowodnione w §§ 3 i 5 poprzedniego rozdziału do obliczania wyrażeń nieoznaczonych. Poniższe twierdzenia 1-4 należą zasadniczo do G. F. de L’Hospitala i Jana Bemoulliego. Zajmiemy się najpierw zasadniczym przypadkiem nieoznaczoności typu 0/0, tzn. zbadamy zagadnienie obliczenia granicy stosunku dwóch funkcji f(x) i g(x) dążących do zera przy ustalonym przejściu granicznym x-*a.

Zaczniemy od prostego twierdzenia korzystającego bezpośrednio z samego pojęcia pochodnej.

Twierdzenie 1. Niech: 1) funkcje /(x) i g(x) będą określone w przedziale (a, b}, 2) lim/(x) = 0, lim g(x)=0, 3) istnieją pochodne skończone f\a) ig\a), przy czym g'(a)^0.

x->a    x-*a

Wówczas    .. f(x) f{d)

lim-= --

g(a)

Dowód. Istnienie pochodnych skończonych f(a) i g\a) gwarantuje ciągłość funkcji f(x) i g(x) w punkcie a. Na mocy 2) jest f(a)= lim/(x)=0 i g(a)= lim g(x) = 0. Według

x~*a    x~*a

lematu z ustępu 109 wskutek tego, że g'(a)ć=0, jest g(x)^= 0 dla wartości jc dostatecznie bliskich a. Ograniczymy się do rozpatrzenia tych właśnie wartości, tak aby stosunek f(x)/g(x) miał sens.

Teraz stosunek ten możemy napisać w postaci

/(x)-/(q)

f(x)₌ /(x)-/(a) ₌ x — a g(x) g(x)-g(a) g(x)-g(a)’ x — a

Przechodząc tu do granicy przy x->a otrzymujemy to, co chcieliśmy udowodnić. Przykład 1. Znaleźć granice

*    - X

e —e

lim---

x-*o ln(e—x)+x — 1

Na mocy twierdzenia jest ona równa stosunkowi pochodnych obliczonemu dla x = 0

Przykład 2. Znaleźć granicę

Równa się ona

e^x+e~*    2    _ 2e

_    \~7~i'

i--i —

e—x x=o    e

lim

x-*0

\J2x—x*—\Jx

i-y? ~

l—2x³    1

y/2x—x*    3\J x²

3

16 T'

4 tj x

18*