131 2

260 XII. Wyrażenia nieoznaczone

Rozwiązanie. Stosując regułę de L’Hospita!a otrzymujemy

ln x    /1    -1 \    sin² *    .    sin*

lim -= lim — :    — 1= — lim -- — lim sin x lim -= 0 • 1 =0

_x_,+octgx x-» + osin xj    x-* + o x    x-* + o    x-* + o x

Zadanie 12.6. Znaleźć

lim - gdzie 6/0.

x- + o a+b ln sin x ’

Rozwiązanie. Zakładamy, że sin jc>0. Gdy x->0 od strony liczb dodatnich, to sinx->0 przez wartości dodatnie, a więc lnsin*-* — 00. Na podstawie podanych wyżej rozważań otrzymujemy

1

-= lim

COS X x-* + 0

1

T‘

ln x

lim ---= lim

_x_+o <3+6 ln sin x x-* + o

sin x 1    \    1

x b cos x) b cos 0

sin x

X

Zadanie 12.7. Obliczyć g= lim — •

x~* + 00 £

Rozwiązanie. Rozpatrzymy przypadki:

— a; wtedy

Przypadek 1°: a<0. Oznaczmy przez b liczbę dodatnią taką, że 6 =

x~* + 00    "

Przypadek 2°: a=0. Wówczas

1

g= lim —=0.

X~* + 00 £

Przypadek 3°: a>0. Oznaczmy przez n₀ najmniejszą liczbę naturalną taką, że a < n₀, i niech a = n₀ — 6; z określenia liczby n₀ wynika, że 0 < 6 < 1; np. gdy a = 5, to n₀⁼5. 6=0; gdy a=^, to «o = 4, 6=|.

Aby obliczyć granicę g, stosujemy n₀ razy regułę de L’Hospitala; otrzymujemy wówczas

x^a    a(a-l)...(a-n₀+l)

x^be^x

lim — = lim

X-* + 00 £    x-» + 00

W przypadku a>0 zadanie można rozwiązać jeszcze innym sposobem. Oznaczm) przez S_n sumę cząstkową

x²    xⁿ

S„=l+x + —.

2!    n !

Dla x>0 ciąg {S_n} jest rosnący, a więc S_n<e^x dla każdego n. Jest także

x

— <S_n<e^x n !

jla Jcażdego n. Oznaczając przez n₀ jakąkolwiek liczbę naturalną większą od a mamy

x"° xⁿ°~^a

n₀\

x“ x^a n₀! e

n !

ponieważ lim -^-_e=0, więc także

x~* + co X

lim — = 0.

X-* + CO £

Z zestawienia przypadków 1°, 2°, 3° wynika, że dla każdego a ma miejsce wzór

x^a

(12.2.5)    lim —=0.

Rozumowanie powyższe daje jednocześnie wzór

e^x

(12.2.6)    lim —=+oo.

x~* + oo X

ln x

Zadanie 12.8. Obliczyć g— lim —j- •

x~> + oo X

Rozwiązanie. Widzimy od razu, że dla k4:0 jest g=+oo.

Załóżmy, że k> 0. Wtedy wykonujemy podstawienie

x = e²,    skąd ln x—z,

a więc lim z= + oo. Otrzymujemy wówczas (patrz zadanie poprzednie):

x~* +oo

ln x    z

^hm ~3T = ^hm ^ ^{= 0}'

Otrzymaliśmy więc wzór

ln x

(12.2.7)    lim —jr = 0    dla    k>0 .

+ oo X

^ powyższego wzoru wnosimy, że ln x przy jc-> + oo rośnie wolniej niż jakakolwiek do-^Inia potęga x, np. ¹⁰^/x.

§ 12.3. WYRAŻENIA NIEOZNACZONE POSTACI oo-O

^iech będą dane funkcje /(*) i g(x) określone w pewnym sąsiedztwie (ewentualnie l^nostronnym) punktu x—a. Iloczyn f(x) g(x) nazywamy wyrażeniem nieoznaczonym ^Pos,aci oo-O w punkcie x=a, jeżeli lim/(x)=+oo lub limf(x)= — cc i jednocześnie