img093

9.3

Do wyrażenia « nawiasie prostokątny* stosujemy jeszcze raz twierdzenie Lagrange'a. Wówczas

a²f

dx₂ dx^

^^Bl⁺⁸l^hl'^a2'^f82^h2'^a3.....^an) »    O<.0₂^1 (8.1)

Ale wyrażenie r możemy również traktować jako przyrost wartości funkcji G określonej wzorem

G(xg) * f(a^+h^^,x2^#a3'-•*^w    ^^X2^,a3'•••»a_n)

przy zmianie zmiennej x₂ od e₂ do ^a2^+b2*

Poatępujęc analogicznie jak wyżej, otrzymamy

r - G(a₂>h₂) - G(a₂) - ^h2^G#(^a2⁺⁸2^h2* •

^h2[|xT (®i^+hi'^a2⁺®2^h2'^a3'‘*^#,an⁾ *    ^(ai'^a2⁺⁵2^b2»^e3'^#-#'^an⁾]'

(8.2)

h.h

> 2_f

1"2 dx₁ ix₂ ^(al*⁰l^hl'^a2*VV^a3'.....n>

(O<0₁<1, o<e₂<i)

Porównując wyrażenia (8.1) i (0.2) i upraszczając przez h^hg, otrzymujemy

d²f

• • • »^an)

• óx₁^f^x₂ ^(al*®l^hl'^a2*®2^h2'^a3"^ł*'^an)

Przechodząc w ostatniej równości do granicy, gdy (hj,h₂) —*-(0,0) i korzystając z ciągłości drugich pochodnych w punkcie a, otrzymujemy

dx_x ax₂

(a)

a²f

Óx₂ dx₁

(a)

co należało wykazać.

Twierdzenie o równości pochodnych mieszanych można również udowodnić przy pieco innych założeniach (zwykle słabszych) niż te, które uczyniliśmy w twierdzeniu 8.1. Niżej oraz w ćwiczeniach podajemy takie wyniki.

2

Twierdzenie 8.2. Załóżmy, że funkcja f:R dHR, gdzie

I • {(x.y)3 R²: lx-x_Qt < r. I y-y₀t < r }