3582334363

Rozdział 1 APROKSYMACJA.

Ogólne zagadnienie aproksymacji w przestrzeni liniowej

(.V, || • ||) -przestrzeń liniowa unormowana. /¹ -podzbiór przestrzeni X.

•    Dla x € X poszukujemy elementu p G P takiego, że ||x — p\\ jest wystairzająco małe: p aproksymujc x.

•    Dla x € X poszukujemy elementu p € P takiego, że

V<y€/^ł \\p- *|| < I|<7- ar||;

p nazywa się wtedy elementem najlepszej aproksymacji x € X przez elementy podzbioru P.

Własności elementu aproksymującego (w szczególności elementu najlepszej aproksymacji) zależą od A', P i || • ||. Dla tego, jeśli mówimy o aproksymacji, to musimy być świadomi tego

•    skąd bierzemy element aproksymowany (j-),

•    gdzie szukamy elementu aproksymującego (p),

•    w jaki sposób mierzymy jakość aproksymacji (|| • ||).

Istnienie elementu najlepszej aproksymacji Twierdzenie 1.1

•    (-V, || • ||) - przestrzeń liniowa unormowana,

•    P C A' - podprzestrzeń skończonego wymiaru.

Wtedy, dla kaid(go x € X istnieje element p € P. najlepszej aproksymacji dla x.

Dowód

1. Jeśli x € P, to bierzemy p = x.

1