24330 Wprowadzenie do MatLab (79)

6.1. Zagadnienia algebry liniowej w systemie MATLAB

W rozdziale 5 przedstawiono wstępne zagadnienia rachunku macierzowego i charakterystyk macierzy Niżej zaprezentowano podstawowy problem algebry liniowej związany z rozwiązaniem względem X równania:

A ■ X = b

gdzie w ogólnym przypadku:

A - macierz prostokątna mxn, b - wektor kolumnowy mx 1.

X - wektor kolumnowy nx 1 - o poszukiwanych wartościach współczynników. Rozważane są następujące przypadki:

m = n i macierz A nic jest osobliwa - znajdowane jest rozwiązanie dokładne, m < n - układ jest „nadokreślony" i znajdowane jest rozwiązanie minimalizujące sumę kwadratów błędów,

m > n - układ jest „niedookreślony” i znajdowane jest rozw iązanie z co najmniej m elementami niezerowymi, minimalne w sensie normy kwadratowej.

W technice najczęściej spotykane są dwa pierwsze przypadki, w których aby wyznaczyć wektor X wystarczy posłużyć się poleceniem

X = A\b

W drugim przypadku otrzymuje się rozwiązanie takie jak dla „jawnego” zastosowania metody najmniejszych kwadratów X = inv(A'*A)*A'*b

Rozszerzeniem metody najmniejszych kwadratów są funkcje: lscov- znajdowania rozwiązania metodą najmniejszych kwadratów przy założonych kowariancjach zmiennych.

nnls - znajdowanie rozwiązania metodą najmniejszych kwadratów o wartościach nieujemnych.

Wykorzystanie tych metod wiąże się z zagadnieniami algebry liniowej oraz programowania liniowego i wykracza poza zakres niniejszej książki.

W przypadku, gdy X i b są wektorami wierszowymi, a rozwiązywany układ ma postać:

X • A = b

poszukiw any wektor X można zapisać X = b/A

Powyższy zapis z wykorzystaniem znaków \ i / można łatwiej zapamiętać, gdy traktuje się macierz A z operatorem dzielenia jako macierz odwrotną. Warunkiem rozwiązania powyższych równań jest nieosobliwość macierzy A. Macierz ta powinna być rzędu n.

Uzupełnieniem metody rozwiązywania układu równań są funkcje w-ykonujące dekompozycję macierzy A do macierzy trójkątnych, ortogonalnych, diagonalnych