8416072476

Rozdział 1 APROKSYMACJA.

Ogólne zagadnienie aproksymacji w przestrzeni liniowej

(X, || • ||) -przestrzeń liniowa unormowana, P -podzbiór przestrzeni X.

•    Dla x G X poszukujemy elementu p G P takiego, że ||x — p\\ jest wystarczająco małe: p aproksymuje x.

•    Dla x € X poszukujemy elementu p € P takiego, że

\/qeP ||p-s|| < ||g-s||;

p nazywa się wtedy elementem najlepszej aproksymacji x G X przez elementy podzbioru P.

Własności elementu aproksymującego (w szczególności elementu najlepszej aproksymacji) zależą od X, Pi || • ||. Dla tego, jeśli mówimy o aproksymacji, to musimy być świadomi tego

•    skąd bierzemy element aproksymowany (:r),

•    gdzie szukamy elementu aproksymującego (p),

•    w jaki sposób mierzymy jakość aproksymacji (|| • ||).

Istnienie elementu najlepszej aproksymacji Twierdzenie 1.1

•    (X, || • ||) - przestrzeń liniowa unormowana,

•    P C X - podprzestrzeń skończonego wymiaru.

Wtedy, dla każdego x G X istnieje element p G P, najlepszej aproksymacji dla x.

Dowód

1. Jeśli x G P, to bierzemy p = x.

1