8941511093

Eliza Wajch, Geometria z Topologią, wykład 1, 2012/2013

Definicja przestrzeni metrycznej. Przestrzenią metryczną nazywamy parę uporządkowaną (X, d), gdzie X jest zbiorem, a d jest metryką w zbiorze X.

Definicje odległości między punktami i między zbiorami. Niech d będzie metryką w zbiorze X. Wówczas:

(i)    gdy x, yeX, liczbę d(x,y) nazywamy odległością lub d-odległością punktu x od y;

(ii)    jeżeli xeX oraz A jest niepustym podzbiorem zbioru X, liczbę d(x,/4)=inf{d(x,y): ye^4} nazywamy odległością w tej przestrzeni metrycznej lub d-odległością punktu x od zbioru A;

(iii)    jeżeli A, B jest parą niepustych podzbiorów zbioru X, to liczbę d(A,B)=mf{d(x,y): xeA i yeB} nazywamy odległością w tej przestrzeni metrycznej lub d-odległością między zbiorami A i B.

Stwierdzenie o nieujemności wartości metryk. Wszystkie wartości każdej metryki są liczbami rzeczywistymi nieujemnymi.

Dowód. Niech x,y będzie parą punktów zbioru X, a d metryką w X. Korzystając po kolei z (ml), (m3), (m2) otrzymujemy: 0=d(x,x)<d(x,y)+d(y,x)=2d(x,y), skąd wnioskujemy, że 0<d(x,y).B

Niemożność dokładnego mierzenia odległości w fizyce. Gdy R. Feynman przygotowywał swoje wykłady „QED, osobliwa teoria światła i materii" (wyd. w 1985 roku), za najmniejszą mierzalną przez fizyków odległość uznawano w przybliżeniu 10^-16cm. Dokonywanie doskonale dokładnych pomiarów odległości między wszelkimi parami różnych obiektów w fizyce nie jest możliwe. Ze względu na uogólnioną zasadę nieoznaczoności, teoretycznie żadnej długości w fizyce mniejszej niż długość Plancka, która wynosi w przybliżeniu 1.616 1999(97)x 10^-35m nie można zmierzyć (zob. Wikipedia), a długość Plancka to w jakimś przybliżeniu 10^-20 średnicy protonu.

R. Feynman [1918-1988] - amerykański fizyk teoretyk, nagrodzony wraz z J. Schwingerem (USA) i S. I. Tomonagą (Japonia) w 1965 Nagrodą Nobla za badania w dziedzinie elektordynamiki kwantowej.

M. Planck [1858-1947]-fizyk niemiecki, w 1918 roku uhonorowany Nagrodą Nobla za wkład w rozwój fizyki dzięki odkryciu przez niego kwantów energii, „elementarnych kwantów działania".

Definicja metryki dyskretnej i przestrzeni metrycznej dyskretnej. Metryką dyskretną lub zerojedynkową w zbiorze niepustym X nazywamy funkcję d:XxX->{0,1} określoną jak następuje: d(x,x)=0 dla każdego xeX, natomiast d(x,y)=l dla każdej pary różnych punktów x,y zbioru X.

Przestrzeń metryczną, której metryka jest zero-jedynkowa nazywamy przestrzenią metryczną dyskretną.

Uwaga o metrykach dyskretnych i niedowodliwości istnienia przestrzeni metrycznych. W teorii ZFC każda metryka dyskretna jest metryką. W teorii ZFC-lnf, nie można udowodnić, że metryka dyskretna jest metryką, bo nie wiadomo w takiej teorii, czy zbiór K istnieje. W teorii ZFC-lnf istnienie przestrzeni metrycznych jest nieudowadniane, nie ma w tej teorii żadnych wiarygodnych przykładów przestrzeni metrycznych. W teorii ZFC-Inf-Mnf, żadna metryka dyskretna w zbiorze niepustym nie jest metryką i w tej teorii nie istnieją przestrzenie metryczne. Przestrzeniami metrycznymi będziemy zajmować się przede wszystkim w teorii ZFC.

3