8941511094

Eliza Wajch, Geometria z Topologią, wykład 1, 2012/2013

Przykłady metryk w przestrzeni IR". Niech neN. Dla x,yelR" możemy określić:

(0    di(*,y)=£>.n i *(0 - y(01.

(ii)    d₂(x,y)=maxj_gn I x(i)-y(0 I,

(iii)    d3(x,y)=VEim(x(i) - y(0)².

(iv)    Standardową metryką w M jest metryka d wyznaczona przez wartość bezwzględną: d(x,y)= I x-y I, gdzie x,yeM.

Tak określone funkcje d_v d₂, d₃ są metrykami w K", przy czym badać będziemy szczególnie metrykę d₃ zwaną euklidesową lub pitagorejską, a to, że funkcja ta jest metryką udowodnimy przy omawianiu iloczynów skalarnych i norm przez nie wyznaczonych. Metryka d₁₍ zwłaszcza w IR², bywa nazywana taksówkową.

Załóżmy dalej, że (X, d) jest przestrzenią metryczną. Wtedy X nazywamy przestrzenią lub całą przestrzenią, a elementy zbioru X punktami tej przestrzeni. Gdy xeX oraz re(0; +°°), to kulą otwartą o środku w punkcie x i promieniu r w tej przestrzeni metrycznej nazywamy zbiór:

K_d(x,r)=K(x,r)={yeX\ d(x,y)<r},

natomiast zbiór K_d(x,r)=K(x,r)={yeX: d(x,y)<r} nazywamy kulą domkniętą o środku w punkcie x i promieniu r w tej przestrzeni metrycznej.

Definicje zbioru otwartego i topologii przestrzeni metrycznej. Zbiór VQX nazywamy otwartym w przestrzeni metrycznej (X,d) dokładnie wtedy, gdy:

Vxev 3_re(o_;+oo) K_d(x,r)QV,

natomiast rodzinę T (oznaczaną teżT_d) wszystkich zbiorów otwartych w przestrzeni metrycznej (X, d) nazywamy topologią tej przestrzeni metrycznej lub topologią w zbiorze X wprowadzoną lub wyznaczoną przez metrykę d.

Definicja metryk równoważnych. Metryki w zbiorze Al nazywamy równoważnymi, gdy topologie wX wyznaczone przez te metryki są identyczne.

Metryki d_v d₂, d₃ określone powyżej w przykładach metryk w IR" są równoważne, ale nie są równoważne metryce dyskretnej w R".

Twierdzenie o topologii przestrzeni metrycznej. Rodzina T wszystkich zbiorów otwartych w przestrzeni metrycznej (X,d) ma następujące własności:

(Tl) 0eT i XeT (zbiór pusty i cała przestrzeń są zbiorami otwartymi),

(T2) Vvęj- Uj_reyVeT (suma mnogościowa zbiorów otwartych w danej przestrzeni jest zbiorem otwartym w tej przestrzeni),

(T3) Vv’_ly₂gjVx n V₂ e T (część wspólna dwu zbiorów otwartych w danej przestrzeni jest zbiorem otwartym w tej przestrzeni.

4