8941511097

Eliza Wajch, Geometria z Topologią, wykład 1, 2012/2013

Zadania.

Zadanie 1. Uzasadnić, że każdy podzbiór przestrzeni dyskretnej jest w niej zarówno otwarty jak i domknięty, a jedynym zbiorem gęstym w danej przestrzeni dyskretnej jest cała ta przestrzeń.

Zadanie 2. Niech d_x będzie metryką w zbiorze X, a d_Y metryką w zbiorze Y. Sprawdzić, że funkcja d określona wzorem:

s) d((*i.yi). (x₂,y₂))=d_x(x₁,x₂)+dy(y₁,y₂l b) d((*i,yi),(x₂,y₂))=max[d_x(x₁,x₂),d_y(y₁,y₂)>

jest metryką w zbiorze Xx Y taką, że T_d={WQXx Y: ^(x,y)ew^Uer_d ³VeTd (x,y)eUx V Q W}.

Zadanie 3. Uzasadnić, że na przykład wRz topologią naturalną część wspólna przeliczalnie wielu zbiorów otwartych nie musi być zbiorem otwartym, a suma mnogościowa przeliczalnie wielu zbiorów domkniętych nie musi być zbiorem domkniętym.

Zadanie 4. Quasi-metryką w zbiorze X nazywamy funkcję d:Xx .Y-»[0, +oo) mającą własności (ml) i (m3). Pokazać, że nie każda quasi-metryka musi być metryką.

Zadanie 5. Uzasadnić, że funkcja d:Xx X->1R mająca własności (ml) i (m3) nie musi być quasi-metryką.

Zadanie 6. Załóżmy, że d jest quasi-metryką w zbiorze X.

a)    Sprawdzić, że funkcja p=max{cł,d^-1}, gdzie d~¹(x,y) = d(y,x) dla każdego (x,y)eXx X, jest metryką w zbiorze X.

b)    Dlaxe^ orazre(0,+oo), niech K_d(x,r)={yeX: d[x,y)<r}. Udowodnić, że rodzina T_d={VQX:

topologią w zbiorze X (zwaną wprowadzoną przez quasi-metrykę d) taką, że K_d(x,r)eT_d dla każdego xeX i każdego re(0,+oo).

c)    Zauważyć, że równość T_d =T_d-1 nie musi zachodzić.

d)    Uzasadnić, że topologia T_d nie musi spełniać warunku Hausdorffa.

Zadanie 7. Uzasadnić, że kula domknięta w przestrzeni metrycznej jest zbiorem domkniętym w tej przestrzeni.

Zadanie 8. Niech d będzie metryką w zbiorze X. Czy dla xeX i re(0,+oo), domknięcie w (X, d) kuli otwartej K_d(x,r) musi być kulą domkniętą K_d(x,r)?

Zadanie 9. Niech (X, ||-||) będzie rzeczywistą (lub zespoloną) przestrzenią unormowaną. Wykazać, że funkcja d:Xx X -> R określona wzorem d(x,y)—\\x-y\\ dla (x,y)tXx X jest metryką w zbiorze X (zwaną wyznaczoną przez normę ||-||). Uzasadnić, że przestrzeń unormowana nie jest przestrzenią metryczną.

Zadanie 10. Czy każda metryka w M jest wyznaczona przez jakąś normę w tej przestrzeni?

Zadanie 11. Uzasadnić, że każdy podzbiór skończony przestrzeni metrycznej jest domknięty w tej przestrzeni.

7