8941511096

Eliza Wajch, Geometria z Topologią, wykład 1, 2012/2013

Definicje wnętrza, domknięcia i brzegu zbioru. Niech A będzie podzbiorem przestrzeni metrycznej (ogólniej: topologicznej). Wówczas:

(i)    wnętrzem zbioru A w tej przestrzeni nazywamy zbiór intj4 będący sumą mnogościową wszystkich tych zbiorów otwartych w tej przestrzeni, które są zawarte w A;

(ii)    domknięciem zbioru A w danej przestrzeni nazywamy zbiór cl A będący częścią wspólną wszystkich tych zbiorów domkniętych w tej przestrzeni, w których zawarty jest zbiór A;

(iii)    brzegiem zbioru A w danej przestrzeni nazywamy zbiór bdi4 = cl yl\ int A

Dokładniejsze oznaczenia. Gdy A £X, natomiast d jest metryką w X lub T jest topologią w X, bywają stosowane oznaczenia: int_dA intj-A int^^Ą cl_di4 itd.

Twierdzenie podające warunek konieczny i wystarczający przynależności punktu do wnętrza (odp.: domknięcia, brzegu zbioru ). Jeżeli A jest podzbiorem przestrzeni metrycznej (X,cL) oraz xeX, to:

(i)    xeint_dA^3_re(0i+oo)K_d(x,r)QA;

(ii)    xec\_dA<=$\/_ri=((₎'_+m)K_d(x,r)r\A^ 0;

(iii)    xebd_dA<=*\/_re(_0+CO)K_d(x,r)r\A* 0    =£ K_d(x,r)\A.

Definicje (zbiory gęste, brzegowe, nigdziegęste). Podzbiór A przestrzeni metrycznej (X,d) (odp. topologicznej (X,T)) nazywamy:

(i)    gęstym w tej przestrzeni, gdy każdy niepusty zbiór otwarty w tej przestrzeni ma jakiś element ze zbioru A;

(ii)    brzegowym w tej przestrzeni, gdy każdy niepusty zbiór otwarty w tej przestrzeni ma jakiś element nie należący do A;

(iii)    nigdziegęstym w tej przestrzeni, gdy każdy niepusty zbiór otwarty w tej przestrzeni zawiera pewien niepusty zbiór otwarty w tej przestrzeni rozłączny ze zbiorem A.

Definicje (ośrodki, przestrzenie ośrodkowe). Przestrzeń metryczną (odp. topologiczną) nazywamy przestrzenią ośrodkową, gdy istnieje jej przeliczalny podzbiór gęsty w tej przestrzeni. Każdy przeliczalny zbiór gęsty w danej przestrzeni nazywamy jej ośrodkiem.

Uwaga o ośrodkowości przestrzeni M". Przestrzeń Mⁿ z nadaną jej topologią naturalną jest przestrzenią ośrodkową. Jej ośrodkiem jest na przykład zbiór wszystkich xeUⁿ takich, że x(i) jest liczbą wymierną dla każdego ien. W szczególności, zbiór wszystkich liczby wymiernych w M jest ośrodkiem przestrzeni K wszystkich liczb rzeczywistych wyposażonej w jej topologię naturalną.

Uwaga o pojęciu zbioru przeliczalnego. Dla wygody, przez zbiór przeliczalny będziemy rozumieć zbiór równoliczny z jakimś podzbiorem klasy co. Zbiory przeliczalne w tym sensie bywają nazywane co najwyżej przeliczalnymi, a niektórzy przez zbiór przeliczalny rozumieją zbiór równoliczny ze zbiorem wszystkich liczb naturalnych. Istnieje też następująca definicja zbioru przeliczalnego:

Definicja zbioru przeliczalnego (Wajch). Zbiorem przeliczalnym nazywamy taki i tylko taki zbiór, który jest równoliczny z każdym ze swoich nieskończonych podzbiorów.

Nie można udowodnić, że w teorii ZF ta definicja zbioru przeliczalnego jest równoważna podanej powyżej definicji zbioru co najwyżej przeliczalnego.

6