8941511092

Eliza Wajch, Geometria z Topologią, wykład 1, 2012/2013

natomiast w teorii ZFC-lnf istnienie zbiorów nieskończonych jest niedowodliwe i żaden wiarygodny przykład zbioru nieskończonego zaistnieć nie może. W teorii ZFC istnienie zbiorów nieskończonych jest konsekwencją hipotetycznych aksjomatów tej teorii, a nie zdań na pewno orzekających prawdę absolutną. Podsumowując, przyjmujemy umowę dotyczącą wszystkich naszych zajęć:

Umowa. Jeśli nie zaznaczymy, że jest inaczej, zakładamy układ ZFC i jego dogodną dla nas interpretację. Od czasu do czasu, będziemy badać niektóre problemy w podteoriach teorii ZFC, na przykład w ZF lub ZFC-lnf.

Ustalamy zbiór E wszystkich liczb rzeczywistych w sensie Hilberta-Huntingtona (D. Hilbert [1862-1943], E. V. Huntington [1874-1952]), mając na myśli ustalone liniowo uporządkowane ciało algebraiczne (E,+, •, <), którego każdy niepusty ograniczony z góry ze względu na < podzbiór ma w E kres górny względem <. W ZFC takie ciało jest jedno z dokładnością do izomorfizmu. Przez przedział będziemy rozumieć taki podzbiór P zbioru E, że dla dowolnej pary elementów x,y zbioru P i dowolnego elementu a zbioru E, jeśli x<a<y, to aeP. Przedziały w E będziemy oznaczać tradycyjnie: (-00; a), (-00; a], (a; b), (a; b], [a; b), [a; b], [a; +00), (a;+oo). Warto przyjąć, że liczbami całkowitymi nieujemnymi w E są: 0=0 (zbiór pusty), 1={0}, 2={0,{0}},..., n+l={0,l,....,n}=nU {n},...., gdy n jest już określoną liczbą naturalną ( należy powołać się na korespondencję Grellinga z E. Zermelo z 1912 roku i artykuł von Neumanna z 1923 roku, gdzie taki pomysł określenia liczby całkowitej nieujemnej został wyeksponowany po raz pierwszy). Już tradycyjnie, klasę wszystkich takich liczb całkowitych nieujemnych oznacza się u>, a N=o)\{0} jest zbiorem wszystkich liczb całkowitych dodatnich (naturalnych).

Zwykle, dla zbiorów X, Y, symbol Y^x oznacza zbiór wszystkich funkcji określonych na X, o wartościach w Y. Zatem, dla neco, Eⁿ jest zbiorem wszystkich funkcji określonych na zbiorze n, o wszystkich swoich wartościach w E, przy czym, gdy xeE”, możemy pisać: x=(x(0),..., x(n-1)) lub na przykład: x=(xo,...,x_n-₁).

Przestrzenie metryczne, wiadomości wstępne.

Właściwy rozwój teorii przestrzeni metrycznych oraz topologicznych został zapoczątkowany pracą M. Frecheta [1878-1973] wydrukowaną w 1906 roku oraz monografią F. Hausdorffa [1868-1942] z 1914 roku, ale już w wieku XIX matematyk niemiecki J. B. Listing[1808-1882] użył terminu „topologia" w swoim artykule z 1847 roku, a wcześniej w korespondencji. Zajmiemy się na razie głównie przestrzeniami metrycznymi.

Definicja metryki. Metryką lub odległością d w zbiorze X nazywamy funkcję d:XxX~*E mającą następujące własności:

(ml) V_xy,_x[d(x, y)=0»x=y];

(m2 - warunek symetrii) V_X y₆_yd(x,y)=d(y,x);

(m3- warunek trójkąta) V_x>yiZexd(x,y)<d(;t,z)+d(z,y).

2