8941511095

Eliza Wajch, Geometria z Topologią, wykład 1, 2012/2013

(T4) V_xeXV_r6(_0;+co)^_d(x,r)eT ( każda kula otwarta w danej przestrzeni metrycznej jest zbiorem otwartym w tej przestrzeni),

(H) ( warunek Hausdorffa) dla każdej pary x, y różnych punktów zbioru X, istnieje para U, V rozłącznych zbiorów otwartych w (X, d) taka, że xeU i yeV.

Dowody powyższych faktów pozostawiam jako ćwiczenie.

Definicje topologii i przestrzeni topologicznej, zbiorów otwartych i domkniętych w przestrzeni topologicznej. Niech T będzie rodziną podzbiorów jakiegoś zbioru X mającą własności (T1)-(T3). Wówczas 7 nazywamy topologią w zbiorze X, a parę (X, 7) przestrzenią topologiczną, przy czym zbiorami otwartymi w przestrzeni topologicznej (X, 7) nazywamy zbiory należące do topologii tej przestrzeni, a zbiór AQX nazywamy zbiorem domkniętym w przestrzeni topologicznej (X, 7), gdy X\AeT.

Definicja przestrzeni metryzowalnej. Przestrzeń topologiczną (X,T) nazywamy przestrzenią metryzowalną, gdy istnieje metryka d w zbiorze X taka, że 7 jest topologią przestrzeni metrycznej

(X,d).

Przykład przestrzeni topologicznej niemetryzowalnej. Gdy X jest zbiorem mającym co najmniej dwa różne punkty, np. gdy X = 2 = {0,1}, to rodzina 7={0, X} jest topologią w X zwaną antydyskretną, ale nie istnieje metryka w X wyznaczająca topologię 7. Zatem nie każda topologia jest wyznaczona przez metrykę.

Topologia naturalna w E". Topologię w E" wyznaczoną przez metrykę euklidesową w tej przestrzeni zwie się topologią naturalną. W szczególności, topologia naturalna w E jest wyznaczona przez metrykę standardową (wyznaczoną przez wartość bezwzględną w E).

Definicja zbioru domkniętego w przestrzeni metrycznej. Zbiór AQX nazywamy domkniętym w przestrzeni metrycznej (X, d), gdy dopełnienie do X zbioru A jest zbiorem otwartym w (X,d).

Uwaga o części wspólnej skończonej ilości zbiorów otwartych. Wykorzystując zasadę indukcji matematycznej oraz warunek (T3), można udowodnić, że część wspólna skończonej ilości zbiorów otwartych w danej przestrzeni metrycznej (ogólniej, topologicznej) jest zbiorem otwartym w tej przestrzeni. Stąd, z własności (T1)-(T3) oraz z praw de Morgana wnioskujemy, że prawdziwe jest następujące:

Twierdzenie o rodzinie wszystkich zbiorów domkniętych w danej przestrzeni. Rodzina wszystkich zbiorów domkniętych w danej przestrzeni metrycznej (ogólniej: w przestrzeni topologicznej) ma następujące podstawowe własności:

(Dl) zbiór pusty i cała przestrzeń są zbiorami domkniętymi w tej przestrzeni,

(D2) część wspólna dowolnej rodziny zbiorów domkniętych w tej przestrzeni jest też zbiorem w niej domkniętym,

(D3) suma mnogościowa skończonej ilości zbiorów domkniętych w tej przestrzeni jest zbiorem w niej domkniętym.

5