8941511098

Eliza Wajch, Geometria z Topologią, wykład 1, 2012/2013

Zadanie 12. Uzasadnić, że w E z metryką wyznaczoną przez wartość bezwzględną zbiór

^: n,m E co \ {0}} nie jest domknięty ani otwarty. Znaleźć domknięcie oraz wnętrze tego zbioru w tej przestrzeni metrycznej.

Zadanie 13.. Niech d_x będzie metryką w zbiorze X, a d_Y metryką w zbiorze Y. W zbiorze X x Y rozważmy metrykę d określoną wzorem: d^^y^, (x₂,y₂))=d_x(x₁,x₂)+d_Y(y₁,y₂), gdzie x₁,x₂ E X iy₁,y₂ E Y. Załóżmy, że A £ X i B £ Y. Sprawdzić, czy muszą zachodzić równości:

cl_dG4 xfl) = c\_dxA x c\_dyB oraz int_dC4 x B) = int_d;f/4 x int_dyB.

Zapisać sensowny związek między bd_d(/l x B) oraz bd_dxA i bd_d B.

Zadanie 14. Wl²z metryką euklidesową wskazać wszystkie te punkty domknięcia zbioru A =

{sin-: xeE \ {0}}, które nie należą do A.

Zadanie 15. Czy w E z metryką wyznaczoną przez wartość bezwzględną istnieje zbiór nieprzeliczalny nigdziegęsty?

Zadanie 16. Uzasadnić, że przestrzeń wszystkich liczb niewymiernych z metryką wyznaczoną przez wartość bezwzględną w tym zbiorze jest ośrodkowa w teorii ZFC.

Zadanie 17. Uzasadnić, że przestrzeń topologiczna (X, P(X)), gdzie P(X) jest rodziną wszystkich podzbiorów zbioru X, jest ośrodkowa wtedy i tylko wtedy, gdy X jest zbiorem przeliczalnym. Czy taka przestrzeń topologiczna jest na pewno metryzowalna w teorii ZFC ? Czy jest ona na pewno metryzowalna w teorii ZF-lnf? Uwaga. Przestrzeń topologiczną (X,P(X)) nazywamy przestrzenią dyskretną.

Zadanie 18. Załóżmy układ ZF i załóżmy dodatkowo, że Z) £ E jest zbiorem nierównolicznym z żadną liczbą należącą do co, ale skończonym w sensie Dedekinda, to znaczy nierównolicznym z żadnym ze swoich podzbiorów właściwych. Uzasadnić, że przestrzeń metryczna (D, d) nie ma żadnego równolicznego z podzbiorem klasy co zbioru gęstego, więc nie jest ośrodkowa (zob. [9]).

Zadanie 19. Uzasadnić, że przestrzeń metryczna dyskretna jest ośrodkowa wtedy i tylko wtedy, gdy jest przeliczalna.

Zadanie 20. Uzasadnić dokładniej, że w teorii ZF-lnf jest niedowodliwe, że istnieje zbiór X taki, iż funkcja d:X xX -* {0.1} określona wzorem:

*Cx.y) = [

0    dla x =

1    dla x =£

y.

y>

gdzie x, y E X, jest metryką w zbiorze X. Czy zdanie, że w każdym niepustym zbiorze jest jakaś metryka, na przykład zero-jedynkowa, można traktować jako absolutnie prawdziwe?

Uwaga o quasi-odległościach w rzeczywistym wszechświecie. W praktyce, przy mierzeniu odległości między obiektami materialnymi, zatraca się symetrię pomiarów i posługujemy się w pomiarach raczej niesymetrycznymi funkcjami odległości niż metrykami. Między innymi dlatego niektórzy naukowcy badają quasi-metryki, ale powinni oni uświadomić sobie, że w ZFC-lnf nie może zaistnieć żaden wiarygodny przykład quasi-metryki. Pojęcie quasi-metryki wprowadził W. A. Wilson w 1931 roku.

8