124840

Zadanie 4. W oparciu o poprzednie zadanie uzasadnić, ze

Y = {(z.y.z)eR³ x + 2y - z = 0,x = 2z}

jest podprzestrzemą wektorową przestrzeni (R³,+,R, )

Zadanie 5.* Niech U i l' będą podprzestrzemami wektorowymi przestrzeni X Uzasadnić, ze

UuV- podprzestrzeń wektorowa X o U C V lub V C U

Zadanie 6. Sprawdzić liniową zależność wektorów w podanych przestrzeniach wektorowych (z naturalnymi działaniami + i •)

a)    (1,0), (1,1), (0,1) w (R², +,R, •);

b)    >/2 i 2 w (R, +,R, •);

c)    ą/2 i 2 w (R, +,Q, •);

d)    l,x, x², ,xⁿ w (n_n,+,R,«)²;

e)    l,x,x+ v/2,x²,    ,x" w (TT_n,+,Q,«);

f)    l,sinx,cosx w (J(R),-f,R, •), gdzie C(R) — {/ R —* R / -ciągła},

g)    l,sinx,cosx, sin² x,cos² x w (C (R),+,R, •)

Zadanie 7. Wyznaczyć bazy podanych przestrzeni wektorowych (z naturalnymi działaniami + i •)

a)    (rT„, -f,R, •);

b)    {Pin, +, R, •), gdzie Pin = {u? 6 n₂„ w(x) = «i(-x)};

c)    (C, +.R. •).

d)    (n_B (a), +, R, •), gdzie n„ (a) ^ {w € U_n w{a) = 0}

Zadanie 8.* Wyznaczyć wymiar przestrzeni wektorowej (R, +,Q, •) Działania + oraz • to naturalne działania dodawania i mnożenia liczb

Zadanie 9. Pokazać, ze Vxo, , x„ € R x, ^ xj (dla i ^ j) wielomiany ip₀, , <p_n określone jako

stanowią bazę przestrzeni wielomianów IT_n

Zadanie 10. Niech (-Y,+,R, •) będzie przestrzenią wektorową Uzasadnić, ze wektory vi, ,v„ € X są liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy wektory ®i,®l+»2i    ,»i +    + t;„ są liniowo niezależne

Zadanie 11. Załóżmy, ze t;|, ,t’_n są liniowo niezależnymi, natomiast y.ti, ,v_nsą Umowo zależnymi wektorami przestrzeni wektorowej V Udowodnić, ze wektor y można przedstawić jednoznacznie jako kombinację Umową wektorów t?i, ,v_n

' fln — {ar -• ao + aix ■+    . + o_nx" : o, € R.« = 0.....n)

2