5910202083

16

I. PRZESTRZENIE BANACHA

1.28.    Twierdzenie. Jeżeli X jest przestrzenią Banacha a Y jej domkniętą pod-przestrzenią, to X/Y jest też przestrzenią Banacha.

Dowód: Wystarczy pokazać (por. zadanie 1.3), że w X/Y każdy szereg bezwzględnie zbieżny jest zbieżny. Niech xi,X2,xz,... będzie ciągiem w X, dla którego

oo

Y II w II < °°-

A;=l

Z każdej z warstw [xij\ wybierzmy element x'_k tak, by ||x^.|| < || {x/_t} || + l/2^k. Wtedy    ll^ll < oo, a ponieważ przestrzeń X jest zupełna, więc szereg

J2fc=i ^x'k J^est zbieżny do pewnego elementu x' € X. Z nierówności

n    u u    n II

. n = l,2,3,...,

k—1    k—1

wynika, że \x'] jest granicą sum częściowych szeregu    D

1.29.    Przykład. Niech So będzie dowolnym niepustym podzbiorem domkniętym przestrzeni normalnej S. Oznaczmy przez X domkniętą podprzestrzeń przestrzeni C(S) złożoną z funkcji zerujących się na Sq . Pokażemy, że przestrzeń C(Sq) jest izometrycznie izomorficzna z przestrzenią ilorazową C(S)/X.

Odwzorowanie przyporządkowujące funkcji x € C(S) jej obcięcie :r|s₀ do zbioru So jest kontrakcją z przestrzeni C(S) do C(Sq) ■ Jego jądrem jest zbiór X. Wzór T[x] = r;|s₀ określa zatem odwzorowanie liniowe T z C(S)/X w C(Sq), także będące kontrakcją. Z drugiej strony z twierdzenia Tietzego-Urysohna (patrz 2.8) wynika, że każdą ograniczoną funkcję ciągłą xq na Sq można przedłużyć do ograniczonej funkcji ciągłej r na 5 i to tak, by ||a;||oo = ||^o||oo- Oznacza to, że T odwzorowuje „na” i nie zmniejsza normy. Wobec tego jest izometrią.

Udowodnimy jeszcze twierdzenie o uniwersalności przestrzeni (} dla klasy wszystkich ośrodkowych przestrzeni Banacha.

1.30.    Twierdzenie. Każda ośrodkowa przestrzeń Banacha jest izometrycznie izomorficzna z przestrzenią ilorazową fi/Y, gdzie Y jest pewną domkniętą pod-przestrzenią liniową przestrzeni fi.

Dowód: Niech x\,X2,x$,... będzie dowolnym podzbiorem gęstym sfery jednostkowej {x 6 X : ||x|| = l} przestrzeni X. Określmy odwzorowanie T : fi —> X wzorem

oo

T(Ai, A2, A3,...) = An X_n.

n=1