img009

Wykład 1

Przestrzenie metryczne

Niech Z będzie ustalonym zbioresi Jakichkolwiek obiektów, które bę«» dziewy narzyweć elementowi lub punktowi. Słowo -ustalony^{1 2} oznacza tutaj, że o dowolny² obiekcie nożna powiedzieć, czy należy on do zbioru Z, czy też nt;- należy do tego zbioru.

Peginicja 1.1, Funkcję d, która każdej parze elementów p, q ze zbioru Z przyporządkowuje liczbę rzeczywiste nieujewnę d(p,q) nazywamy odległości# lub metrykę. Jeśli dla dowolnych element ów p, q, reZ spełnione aę następujęce trzy warunkit

(i)    d(p,q) ■ O wtedy i tylko wtedy, gdy p - q (aksjomat tożsamości),

(ii)    d(p,q) - d(q,p) (akeJowat sywwlrii),

(iii)    d(p ,q) ♦ d(q,r)> d(p²r) (wkejowwt trójkgte).

Pa rt (Z.d) złożonę ze zbioru Z i wet ryki d nazywamy przeetrze-njg watrycznę.

Pojęcia przestrzeni wetrycznej wprowadził M.R. Fr$chet^ł w roku 1906, natomiast plerwazę w literaturze światowej monografię poświęconę przestrzeniom metrycznym Jeet kelężke pt, “Przestrzenie metryczne², której autorem jeet jeden z twórców polskiej szkoły wetewatycznej, wybitny uczony - Wacław Sierpiński .

1

*Mauric» Rene frćchot {2 IX 18?8 - 4 VI 1973) - ma tenis tyk francuski, który zajmował 6ię głównie analizą mstema tyczną, topologią, rachunkiem prav<dopodobieńatwo i statystyką. To Frechet pierwszy wprowadził pojęcia zupełności i koa;>aktyczności przestrzeni metrycznej, która poznamy w dalszych wykładscn,

2

Wacław Sierpiński (ik III 1882 - 21 X 1973/ - matsmatyk polski, autor znakomitych wyników w teorii mnogości, teorii liczb i teorii funkcji rzeczywistych, które przyniosły wu światową sławę, V swym bogatym dorobku naukowym pozostawił ponad 700 prac, 15 kaiążsk naukowych i 13 popularnonaukowych.