KIF37

213. Niech A będzie dowolnym zbiorem dwu- lub wi^. •elementowym: odpowiedz na następujące pytania:

(a)    Czy każda relacja zwrotna w A zawiera się w każdej re-lacji symetrycznej w A"?

(b)    Czy każda relacja zwrotna w A zawiera się w pewnej relacji symetrycznej w A?

(c)    Czy każda relacja zwrotna w A wyklucza się z każdą relacją asymetryczną w A?

(d)    Czy każda relacja zwrotna w A wyklucza się z każdą relacją antysymetryczną w A?

(c) Czy każda relacja spójna w A wyklucza się z każdą relacją symetryczną w A ?

(f)    Czy każda relacja równościowa w A wyklucza się z każdą relacją porządkującą w A?

(g)    Czy każda relacja porządkująca w A wyklucza się z każda relacją częściowo porządkującą w A?

(h)    Czy każda relacja równościowa w A wyklucza się z każdą relacją jednoznaczną w A*.

(i)    Czy każda relacja porządkująca w A wyklucza się z każdą relacją jednoznaczną w A?

(j)    Czy każda relacja jednoznaczna w A wyklucza się z każdą relacją odwrotnie jednoznaczną w A"!

(k)    Czy każda relacja dwuczłonowa w A wyklucza się z każdą operacją dwuargumentową w A?

214. Z definicji sumy zbiorów otrzymujemy następując określenie sumy relacji:

<x, >•) e RvS=(x, y) e R v <*, y) e S.

Na przykład, relacja bycia rodzicem jest sumą relacji bytu ojcem i relacji bycia matką.

Zdefiniuj iloczyn, różnicę i dopełnienie relacji; podaj przykłady relacji, które są — odpowiednio —- iloczynem, różnicą i dopełnieniem pewnych innych relacji.

215.    Niech R, S będą relacjami danymi pT7.cz wzory:

<■*,>') G R^y jest podziclnc przez x, <x,y>eS=y-jr+2

i ograniczonymi do zbioru pierwszych pięciu liczb naturalnych. Podaj następujące relacje:

(a)    RS,    (d)    S-R,

(b)    RnS,    (e)    R\

(c)    R-S,    (f)    S'.

216.    Konwersem relacji R (symbolicznie: R) jest relacja, która zachodzi między przedmiotami * i y zawsze i tylko, gdy między przedmiotami y i x zachodzi relacja R:

<x_ty>eJ<sO',x}eR.

Na przykład, konwersem relacji podzielności jest relacja bycia podzielnikiem; konwersem relacji podobieństwa jest sama relacja podobieństwa.

Nazwij potocznie relację, która jest konwersem:

(a)    relacji bycia żoną,

(b)    relacji bycia krewnym,

(c)    relacji bycia rodzicem.

217.    Jaki stosunek zachodzi między R i R oraz między R i R' w przypadku relacji podanych w punktach (a)-(c) w zadaniu 216?

218.    W oparciu o definicje dziedziny i przcciwdziedziny oraz działań na relacjach udowodnij następujące równości:

(a)    D(7ł)-D(R),    (d)    Rj*(R)\

(b)    D(R)=D(R),    (c)    rs=Rs,

(c) %=R,    (f)    RS=knl,

Cs) RS=k-s.

129

* — Oriratnia < logiki