6 (28)

101

Zadania

MB. Niech/będzie dwukrotnie różniczkował na na %a, b},f(a) < 0 ,f(b) > 0 J'(x) > 5 > OorazO </"(*) < M ‘s. b). Niech £ będzie jedynym punktem odcinka (a, b), w którym /(£) = 0.

Łecpcłnić następujący plan metody Newtona znalezienia Ę:

I ii Wybrać xf e ({, b) i określić {x„}. Niech

m)

Sm

■terpretację geometryczną w terminach stycznej do wykresu funkcji/ li Wykazać, że x„₊₁ < x„ i że lim x„ =

n-* oo

c Wykorzystując twierdzenie Taylora pokazać, że

-i — JLh?Li_x

^?    2 /'(X„) ⁽    ^ *

Hrf pm nych t„ e ((, x„).

[ Ą Wywnioskować, że przy A = M/28

jzA(x₁-or.

Btascwnaj z zadaniem 16 i 18 z rozdziału 3.)

r t- Pokazać, że metoda Newtona sprowadza się do znajdowania punktu stałego funkcji g określonej przez

g(x) =

Muc, zachowuje się g'(x) dla x bliskich ę?

4 Niech f(x) = x^1,a dla x 6 (— co, + oo) i zastosujmy metodę Newtona. Co się stanie?

26. Niech/będzie funkcją różniczkowalną na (a, b),/(a) = 0 oraz niech istnieje liczba rzeczywista A taka, że ■m < A\J(x)\ na (a, i). Udowodnić, że J(x) = 0 przy dowolnym xe (a, 6).

W skazówka. Ustalmy x_a e <a, h) i niech M₀ = sup|/(x)|, Mi = sup|/'(x)| na przedziale (a, x₀>. Dla Anwolnego x e (a, x₀)

l/(x)| ^ M,(x₀-«) < A(x₀—a)M₀.

Wynika stąd, że M₀ = 0, jeśli A(x₀-a) < 1, tj.f = 0 na (a, x₀>. Poprowadzić dalej to rozumowanie.

27.    Niech <p będzie funkcją rzeczywistą określoną w prostokącie R na płaszczyźnie, określonym przez nierów-■Kd a<x<ó, ot<y</. Rozwiązaniem równania różniczkowego z danym warunkiem początkowym.

y~v(x,y), y(a) = c (uścśP) sazywamy funkcję/różniczkowalną na (a, b} taką, że f(a) = c,

a </(x) < P i /'(x) = y»(x,/(x)) (a < x < t).

Udowodnić, że istnieje nie więcej niż jedno takie rozwiązanie, o ile istnieje liczba A taka, że

I<p(x, y₂)~ <f(x,yi)l ^ly₂-yil

zj. dowolnych (x, y,) oraz (x, y₂) należących do R.

W skazo wk a. Zastosować sposób z zadania 16 dla różnicy dwu rozwiązań. Zauważmy, że powyższe twierdzenie o jednoznaczności nie zachodzi dla zadania z wartością początkową / = y'¹², y(0J = 0, które posiada dwa rozwiązania;/(x) = 0 i /(x) = x²/4. Znaleźć pozostałe rozwiązania.

28.    Sformułować i udowodnić analogiczne twierdzenie o jednoznaczności w przypadku układu równań różniczkowych o postaci

yj= <Pj(x,y_u...,y_k), yj(a) = e, (j = 1,2.....k).

Zauważmy, że układ ten można napisać w postaci

y' = v(x, y),    y(a) = c,