95686

Def. 4.1.3 (całka powierzchniowa zorientowana)

Niech F = (P,Q, R) będzie polem wektorowym na płacie gładkim zorientowanym Z. Całkę powierzchniową zorientowaną z pola wektorowego F po płacie Z definiujemy wzorem:

JJ P(x. y,z)dydz+ Q(x, y,z)dzdx + R(x. y,z)dxdy = jj (F(x,y,z)oń(x, y, z))dS =

i    s

= JJ(P(x, y, z)cosa + Q(x, y, z)cos/? + R(x, y, z)cosy)dS

£

gdzie n = (cosar.cos fl.cosy) oznacza wersor nonnalny do płata zorientowanego Z wystawiony w punkcie (x.y.z) tego płata.

Uwaga W zapisie wektorowym powyższa definicja przyjniije postać:

JJ F(r)« dŚ = JJ(F<r) o n<r ))dS.

£ £

_ def

gdzie dS = (dydz,dzdx,dxdy) Całkę powia zdunową zorientowaną z pola wektorowego F po płacie Z oznaczamy też

krótko JJ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy. a w notacji wektorowej JJ F ® dS .

Rys. 4.1.5 Ilustracja do definicji całki powierzchniowej zorientowanej z pola wektorowego F po płacie zorientowanym Z

Def. 4.1.4 (całka powierzchniowa po płacie kawałkami gładkim)

Niech Z będzie kawałkami gładkim płatem zorientowanym, utworzonym z płatów gładkich £|, Z2.....I„, o orientacjach po

krywających się z orientacją płata Z. Ponadto niech F będzie polan wektorowym określonym na płacie Z. Całkę powierzchniową zoriaitowaną z pola wektorowego F po płacie Z definiujemy wzorem:

JJ F © dŚ = JJ F © dŚ + JJ F o dŚ +... + JJ F o dŚ .

£    £,    £j    £„

o ile całki po prawej stronie znaku równości istnieją. Jeżeli Z jest platan zorientowanym zamkniętym ograniczającym pewien obszar w przestrzeni, to wtedy piszemy jj w miejsce JJ .

£ £

Tw. 4.1.5 (liniowość całki powierzchniowej zorientowanej)

Jeżeli istnieją całki powiazcluiiowe z pól wektorowych F i G po kawałkami gładkim płacie powierzchniowym zoriaitowa-nym Z oraz jeżeli c jest dowolną stałą, to

a)    istnieje całka z pola wektorowego F + G po płacie Z oraz

JJ (f +G)odŚ = JjFodŚ + JjGod§,

£ £ £

b)    istnieje całka z pola wektorowego cF po płacie Z oraz

JJ (cF)o dS = cJJ F © dŚ,

£ £

c)    istnieje całka z pola wektorowego F po płacie o orientacji przeciwnej - Z oraz

JJ F © dŚ = - JJ F o dŚ.

-£ £

4.2 ZAMIANA CAŁKI POWIERZCHNIOWEJ ZORIENTOWANEJ NA CAŁKĘ PODWÓJNĄ

Tw. 4.2.1 (o zamianie całki powierzchniowej na całkę podwójną)

Jeżeli

1.    L = {(x(u. v). y(u. v). z(u.v)): (u. v)e D} jest gładkim platan zorientowanym, gdzie D jest obszarem regularnym na płaszczyźnie,

2.    pole wektorowe F = (P,Q, R) jest ciągłe na płacie Z.

to