22914

2 Dystrybuanty

Niech F(x, y) będzie dystrybuantą wektora losowego (X, y), a G(u, t?) dystry-buantą wektora (U, V) zdefiniowaiK*go przez U = max(X,Y) i V = min(X. Y). Wyrazić G poprzez F.

Rozwiązanie:

G(u, v) = P(U < u, V < v) = P(max(X, Y) < u.inin(X, Y) < v) =

= P(x < u a y < u, X < t> V y < u) =

= P((X < u A Y < u) A (X <t7 V r<y)) =

= P((X < u A Y <u A X < r) V (X < u A y < u A y < t>)) = *

Rozważymy tu dwa możliwa przypadki

1.    Przypadek u < t;

*    = P((X < u A y < u A X < v) V (X < u A Y < u A y < r)) =

= P((x <u a y < u) v (x < u a y < u) =

= P(X < uAy < u) = F(u,u)

2.    Przypadek u > v

*    = P((X < u A y<u A X < v) V (X < u A y<uA y<y)) = = P((Y <uAX<y)V(X<uAy<u)) = P(y < u A X < t>)+ +P(X < u A y < v) - P((y <uAX<e)A(X<uAy<y)) =

= F(v, u) + P(u, t>) - P(X < e A y < u)) =

= f{v, u) + P(u, v) - P(e, v)

Oczywiście można to też wywnioskować z odpowiedniego rysunku :)

2