54294

5. Niech U będzie zmienną losową o rozkładzie jednostajnym £/(0.1). Pokazać, że zmienne losowe

mają rozkład wykładniczy

C. Wykazać, że jeżeli zmienna losowa U ma rozkład jednostajny U(0.1), to zmienna losowa X = x₀ U~^x/a ma rozkład Pareto Pa (aro, a).

7. Wykazać, że jeżeli zmienna losowa X ma rozkład normalny Af(0.1), zmienna losowa Y ma rozkład x²(n) i zmienne te są niezależne, to

zmienna losowa \fn—== ma rozkład ł Studenta T(n). y/Y

8. Wykazać, że jeżeli zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy £(A), to zmienna losowa Y = X^,/o, a > 0, ma rozkład Weibulla We(a,

9. Udowodnić, że jeżeli zmienne losowe X\_f____X_n są niezależne o jed

nakowym rozkładzie wykładniczym £(A), to zmienna losowa T(X) =

n

| ^2 Xi ma rozkład \²(2n).

im 1

10. Wykazać, że jeżeli zmienna losowa A' ma rozkład Pareto Va(xo,a), to zmienna losowa \/X ma rozkład potęgowy Vo(\/x_Q.a), a zmienna losowa ln(A/xo) ma rozkład wykładniczy £(l/a).

11. Wykazać, że jeżeli A' i Y są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie normalnym A/"(0,1), to zmienna losowa X(Y ma rozkład Cauchy’ego C(0,1). *

12.    Niech Aj, X₂ będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie wykładniczym £(A). Niech Y — X\ — X₂, Z — X₂.

(a)    Wyznaczyć gęstość łącznego rozkładu wektora losowego (Y.Z).

(b)    Wykazać, że zmienna losowa Y ma rozkład Laplace’a £a(0, A).

13.    Niech X = (Aj.....A„) będzie próbą z rozkładu Poissona ^(A) i niech

T = Aj +----h A„. Wyznaczyć warunkowy rozkład wektora losowego

X pod warunkiem T — t.

2