33,34

Rozkład normalny (gaussowski)

Def. Niech X będzie zmienną losową o gęstości prawdopodobieństwa postaci

Rozkład normalny (gaussowski)

(24) f(x) =

(x-m)²

-°°<X<⁰⁰|

gdzie me IR i a są danymi parametrami. Mówimy wtedy, że X ma rozkład normalny N(m,o). Prosta x=m jest osią symetrii wykresu funkcji gęstości f wykres str 35

Dystrybuanta rozkładu normalnego N(m,a) ma postać

(25) V x e IR

Zastosowanie rozkładu normalnego wynika z następujących jego własności:

Rozkład normalny stanowi dobre przybliżenie (w sensie twierdzeń granicznych) dla innych rozkładów, tzn. dla dużych n suma n niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie ma rozkład normalny.

Każda liniowa kombinacja niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie normalnym ma rozkład normalny.

Stąd rozkład normalny jest dobrym modelem w teorii pomiaru, tzn. dobrze opisuje:

-    losowe błędy pomiarów (np. tam, gdzie można przyjąć, że błąd jest sumą błędów)

-    losowe zakłócenia przesyłanych sygnałów, wartości chwilowe normalnego napięcia, szumów

-    cechy towarów w produkcji masowej.

Jeżeli w (25) (w (24) też) przyjąć m=0 i o=1, to otrzymamy dystrybuantę rozkładu normalnego N(0,1), którą oznaczamy 0 i jest ona stablicowana. To daje duże korzyści przy obliczeniach różnych prawdopodobieństw. Przed zilustrowaniem tego przykładem powołamy się na następujące

Twierdzenie. Jeżeli zmienna losowa X ma rozkład N(m,a) to zmienna losowa

T =

X-m

o

nazywana standaryzowaną zmienną losową ma rozkład N(0,1).

Dowód. Niech F_T(t) = P(T<t) = P

r

X-m

\

< t

V o

m+ct

|    Ul TU

P(X < m + ot) = —j= f exp

gv2 k ^J

—oo

Podstawiając w ostatniej całce

i

F_T(t)= Jexp

u

du = O(t)

(x-m)²

2a

dx

x - m

o

= u otrzymamy, że

—oo

Przykład 12. Wytrzymałość stalowych lin pochodzących z produkcji masowej jest zmienną losową o rozkładzie N(1000kg/m², 50kg/m²). Obliczyć, jaki procent lin ma wytrzymałość mniejszą od 900 kg/cm².

Rozwiązanie. Niech X będzie zmienną losową opisaną w zadaniu. Zatem

P(0 < X < 900) = P

r

-20 <

X-1000

50

\

< -2

= O(-2)-O(-20)

Z (24) widzimy, że prosta x=0 jest osią symetrii wykresu gęstości zmiennej losowej N(0,1). Dlatego też prawdziwy jest związek <t>(-x)=1-<l>(x), który pozwala tablice dystrybuanty O ograniczyć tylko dla dodatnich x. Wykorzystując ten związaek w przykładzie mamy

P(0<X<900)=1-<E>(2)=0,02275, co oznacza, że przeciętnie 2,28% lin ma wytrzymałość poniżej 900 kg/cm².

Funkcje zmiennej losowej.

Niech na przestrzeni (£2, Pi ,P). będzie określona zmienna losowa X. Niech na zbiorze wartości zmiennej losowej X będzie określona funkcja rzeczywista h. Naturalnym jest pytanie, czy złożenie h°f:£l -*IR¹ jest zmienną losową. Spotykane w praktyce funkcje, w szczególności funkcje ciągłe gwarantują, że takie złożenie jest

34