\
Zmienna losowa X o rozkładzie Bernoulliego (16) wiąże się ze zmienną losową o rozkładzie zero-jedynkowym (14) w następujący sposób:
dla n=1 z (16) otrzymujemy rozkład zero-jedynkowy
dla n>1 zmienna losowa w (16) jest sumą n niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie zero-jedynkowym z parametrem p. Dla objaśnienia ostatniego wystarczy przyjąć, że jeśli brak oznaczymy 1 a produkt dobry przez 0 to zdarzenie (X=k) oznacza, że spośród n produktów dokładnie k oznaczonych było 1 (brak) a n-k zerem (dobra) przy czym prawdopodobieństwo braku jest p (jako sukces) a sztuki
dobrej q=1-p. Wśród n produktów dokładnie k braków można umieścić na
\
/
sposobów i każdy taki n wyrazowy ciąg zer i jedynek ma prawdopodobieństwo pkqn'\ Stąd prawdopodobieństwo interesującego nas zdarzenia wynosi
P(X -k) =
KkJ
Rozkład Poissona.
Def. Mówimy, że zmienna losowa X ma rozkład Poissona z parametrem \>0, jeśli W={1,2,...} oraz
ik
(17) P(X = k) =—e'1 k=0,1,2, ...
k!
Rozkład ten ma duże zastosowanie w teorii niezawodności i w teorii obsługi masowej. Jest on modelem takich doświadczeń, w których interesująca nas cecha jest:
- liczbą rozmów telefonicznych zamówionych w centrali w czasie T.
- liczbą braków wyprodukowanych przez automat w ciągu ustalonego czasu T.
- liczbę cząstek emitowanych substancję radioaktywną w określonym kierunku w ustalonym czasie.
Rozkład Poissona jest rozkładem granicznym dla rozkładu Bernoulliego w następującym znaczeniu:
Twierdzenie Poissona. Jeżeli zmienne losowe X1, X2, .. mają rozkład Bernoulliego o parametrach: n i p=p(n) oraz stała dodatnia l=np to
(18) lim
n—>oo
dla każdego k=1,2, ...
Zauważmy, że z twierdzenia Poissona wynika, że wraz ze wzrostem próbki (n^°°)m prawdopodobieństwo sukcesu p (stałe w każdej próbce) maleje do zera (bo
X
p = —>0 przy n->°°). W praktyce stosujemy wzór Poissona (17) jako przybliżenie n
dla wzoru Bernoulliego (16) gdy n>50, p<0,1 ; np.<10.
Dowód twierdzenia Poissona
vky
lim
n—**>
=^iim
k! n^°°
* k
p*(l-p)'"k = lim-—---
n-*°°k!(n-k)! nk
|
L x\ |
n | |
|
1— |
1— | |
|
V nj |
l n; |
vk
V.
-k
\
i-±
n;
\n
n(n-l)(n-2)...(n-k + l)
n-n
n
n)
Xk
= —e k!
-x
Przykład 9. Prawdopodobieństwo, że produkt poddawany próbie nie wytrzyma tej próby wynosi p=0,01. Obliczyć prawdopodobieństwo, że wśród 200 produktów co najwyżej 2 nie wytrzymają próby.
Rozwiązanie. Z warunków zadania widzimy, że zmienna losowa o wartościach równych liczbie produktów, które nie wytrzymały próby podlega rozkładowi Bernoulliego (16) z parametrami n=200, p=0,01. Ponieważ jednak n=200>50 oraz p=0,01<0,1 i A,=np=2<10 to możemy wykorzystać przybliżenie rozkładem Poissona (17). Interesujące nas zdarzenie losowe należy opisać dla zmiennej losowej X o
rozkładzie (17) następująco:
2 29
P(X < 2) = P(X = k) = X-e~2 = e~2(l + 2 + 2) - 0,68
k=o k=o k!
Istnieją tablice funkcji rozkładu Poissona.
28