27,28

Zmienna losowa X o rozkładzie Bernoulliego (16) wiąże się ze zmienną losową o rozkładzie zero-jedynkowym (14) w następujący sposób:

dla n=1 z (16) otrzymujemy rozkład zero-jedynkowy

dla n>1 zmienna losowa w (16) jest sumą n niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie zero-jedynkowym z parametrem p. Dla objaśnienia ostatniego wystarczy przyjąć, że jeśli brak oznaczymy 1 a produkt dobry przez 0 to zdarzenie (X=k) oznacza, że spośród n produktów dokładnie k oznaczonych było 1 (brak) a n-k zerem (dobra) przy czym prawdopodobieństwo braku jest p (jako sukces) a sztuki

dobrej q=1-p. Wśród n produktów dokładnie k braków można umieścić na

\

/

sposobów i każdy taki n wyrazowy ciąg zer i jedynek ma prawdopodobieństwo p^kqⁿ'\ Stąd prawdopodobieństwo interesującego nas zdarzenia wynosi

P(X -k) =

K^kJ

_P^kr^k

Rozkład Poissona.

Def. Mówimy, że zmienna losowa X ma rozkład Poissona z parametrem \>0, jeśli W={1,2,...} oraz

i^k

(17) P(X = k) =—e'¹ k=0,1,2, ...

k!

Rozkład ten ma duże zastosowanie w teorii niezawodności i w teorii obsługi masowej. Jest on modelem takich doświadczeń, w których interesująca nas cecha jest:

-    liczbą rozmów telefonicznych zamówionych w centrali w czasie T.

-    liczbą braków wyprodukowanych przez automat w ciągu ustalonego czasu T.

-    liczbę cząstek emitowanych substancję radioaktywną w określonym kierunku w ustalonym czasie.

Rozkład Poissona jest rozkładem granicznym dla rozkładu Bernoulliego w następującym znaczeniu:

Twierdzenie Poissona. Jeżeli zmienne losowe X1, X2, .. mają rozkład Bernoulliego o parametrach: n i p=p(n) oraz stała dodatnia l=np to

(18) lim

n—>oo

P^k(i-_Pr^k

dla każdego k=1,2, ...

Zauważmy, że z twierdzenia Poissona wynika, że wraz ze wzrostem próbki (n^°°)m prawdopodobieństwo sukcesu p (stałe w każdej próbce) maleje do zera (bo

X

p = —>0 przy n->°°). W praktyce stosujemy wzór Poissona (17) jako przybliżenie n

dla wzoru Bernoulliego (16) gdy n>50, p<0,1 ; np.<10.

Dowód twierdzenia Poissona

v^ky

lim

n—**>

=^i_im

k! ⁿ^°°

*    k

p*(l-p)'"^k = lim-—---

ⁿ-*°°k!(n-k)! n^k

L x\	n
1—		1—
V nj		l n;

v^k

V.

-k

\

i-±

n;

\ⁿ

n(n-l)(n-2)...(n-k + l)

n-n

n

ⁿ)

X^k

= —e k!

-x

Przykład 9. Prawdopodobieństwo, że produkt poddawany próbie nie wytrzyma tej próby wynosi p=0,01. Obliczyć prawdopodobieństwo, że wśród 200 produktów co najwyżej 2 nie wytrzymają próby.

Rozwiązanie. Z warunków zadania widzimy, że zmienna losowa o wartościach równych liczbie produktów, które nie wytrzymały próby podlega rozkładowi Bernoulliego (16) z parametrami n=200, p=0,01. Ponieważ jednak n=200>50 oraz p=0,01<0,1 i A,=np=2<10 to możemy wykorzystać przybliżenie rozkładem Poissona (17). Interesujące nas zdarzenie losowe należy opisać dla zmiennej losowej X o

rozkładzie (17) następująco:

2    29

P(X < 2) = P(X = k) = X-^e~² = e~²(l + 2 + 2) - 0,68

k=o    k=o k!

Istnieją tablice funkcji rozkładu Poissona.

28