Zadania rozkład normalny Statystyka zadania z rozwiązaniami

Statystyka-zadania z rozwiązaniami

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA

STRONA GŁÓWNA    STATYSTYKA-WPROWADZENIE

Zadania rozkład normalny

Zadania dotyczące standardowego rozkładu normalnego N(m, er) są zazwyczaj proste i różnią się od zadań dotyczących rozkładu normalnego N(0,1) tym, że najpierw trzeba zastosować standaryzację rozkładu normalnego.

Jeśli masz przykład, który nie został tutaj omówiony śmiało opisz go w komentarzu. Chętnie przeanalizuję przykład i wrzucę na stronę.

Przy rozwiązywaniu zadań będę korzystał z Tablicy rozkładu normalnego Triki-tablica N(0,1).

Jeżeli zadanie będzie dotyczyło rozkładu N(p, o) to skorzystamy jeszcze z Standaryzacja rozkładu normalnego.

Przykład 1:

Zmienna losowa X ma rozkładu normalny iV(10,2). Wyznacz prawdopodobieństwa:

1.    P(X< 13)

2.    P(X > 9)

3.    P(6 < X < 14)

4.    P(2 < X < 4)

Triki-tablica N(0,1)

Ponieważ rozkład normalny nie jest standardowy to w każdym przykładzie będziemy musieli przeprowadzić standaryzację, czyli

1.    P{X < 13) = P(    ) = P(Z < 1.5) = $(1.5) Ri 0.933

2.    P(X > 9) = P{^- > ^ = P{Z > -0.5) = $(0.5) ps 0.691

3.    P(6 < X < 14) = P(^2 < 2^10 < MziO) ₌

P(-2 < Z < 2) = $(2) - $(—2) = $(2) - (1 - $(2)) =

2$(2) - 1» 2 • 0.997 - 1 = 0.994

4.    P{2 < X < 4) = P{ < *zio < i^io) ₌

P(-4 < Z < —3) = $(—3) - $(-4) =

(1 - $(3)) - (1 - $(4)) = $(4) - $(3) % 1 - 0.999 = 0.001

Przykład 2:

Zmienna losowa X ma rozkład N(0, j). Zmienna losowa Y jest z rozkładu Y ~ exp(X). ObliczP(l < Y < e):

Ponieważ X nie jest z rozkładu N(0,1) będziemy musieli przeprowadzić standaryzacje jednak najpierw musimy przekształcić Y tak aby wskazywał na rozkład normalny:

Skoro Y ~ exp(X) to hi Y ~ X, czyli przed wykonaniem standaryzacji musimy obustronnie zlogarytmować logarytmem naturalnym.

P( 1 < Y < e) = P(ln 1 < ln Y < lne) = P(0 < X < 1) =

^J,(W<W<W)=-^P(°<^<²) =

$(2) - $(0) R3 0.997- 0.5 = 0.497

Przykład 3:

Długość produkowanych detali ma rozkład 1V(0.9,0.03). Norma przewiduje wyroby o wymiarach

0.9 ± 0.05. Oblicz jaki procent wyrobów nie spełnia wymogów.

Łatwiej będzie policzyć jaki procent wyrobów spełnia normę. Wtedy też będziemy wiedzieć jaki procent wyrobów nie spełnia normy.

Procent wyrobów spełniających normę wyraża się wzorem

P(0.9 - 0.05 < X < 0.9 + 0.05) = P(0.85 < X < 0.95) = *P(-1.67<Z< 1.67) =

$(1.67) - $(-1.67) = $(1.67) - (1 - $(1.67)) ^

2$(1.67) - 1 fti 2 • 0.953 - 1 = 1.906 - 1 = 0.906

Przykład 4:

Wiadomo, że odchylenie wagi noworodków wynosi 500g. Jak rozmiar próby jest potrzebny aby odchylenie standardowe średniej wagi noworodków było mniejsze niż 100g.

Skorzystamy z faktu, że jeśli X ~    t) to X ~iV(/i, -^= )

a = 500

<t < y/n • 100

500 < y/n • 100

5 < y/n 25 <n

Czyli dla n większego od 25 odchylenie standardowe średniej wagi noworodków jest mniejsze niż

Przykład 5(od użytkownika Sylwus):

Pewien zakład produkcyjny zatrudnia 100 pracowników, których staż pracy jest zgodny z rozkładem normalnym N(10 lat, 5 lat). Obliczyć ilu pracowników miało staż:

a)    krótszy niż 3 lata

b)    dłuższy niż 15 lat

Zajmijmy się najpierw przypadkiem pojedynczego pracownika o stażu pracy X ~ N(10,5):

.)M< 3> = P|!-^ < ^^)» = P(Z<-1.4) = #(-1.4) =

1 - $(1.4) « 1 - 0.91924 = 0.08076

b, P(X > 15) =    > ^y^) = P(Z > 1) =

1 - $(1) rs 1 - 0.84134 = 0.15866

Póki co wyliczyliśmy prawdopodobieństwo, że wybrany pracownik będzie pracował mniej niż 3 lata (przykład a) lub więcej niż 15 lat (przykład b).

Aby wyliczyć ilość osób musimy skorzystać ze wzoru:

n. = n • p.

i    * i

fij- ilość pracowników spełniająca podane kryterium n- ilosc pracowników

Pi - prawdopodobieństwo, że dany pracownik spełnia kryterium

Czyli teraz już łatwo możemy obliczyć ile pracowników spełnia kryterium (a) a ile kryterium (b):

a)    0.08076 ■ 100 = 8.076 rs 8 pracowników pracuje mniej niż 3 lata

b)    0.15866 • 100 = 15.866 m 16 pracowników pracuje więcej niż 15 lat.

Przykład 6(od Michała):

Dokonano pomiaru wagi wśród wylosowanych 150 dzieci. Otrzymane wyniki charakteryzują się rozkładem normalnym o średniej równej 65 kg i wariancją równą 100 kg . W powyższym przykładzie dominanta ma wartość...

W rozkładzie normalnym dominanta, średnia i mediana są sobie równe, czyli w tym przypadku wynoszą po 65kg. Łatwo to widać na wykresie rozkładu normalnego, ponieważ dla x= średniej mamy szczyt górki, czyli jest największa szansa na to, że wypadnie ta wartość, czyli jest ona wartością najczęstszą.

Przykład 7(od Michała)

W teście, którego wyniki charakteryzują się średnią równą 20 i odchyleniem standardowym równym 7 pewien słuchacz zdobył 25 punktów. Jaki procent studentów uzyskało gorszy wynik od owego delikwenta ? (rozkład wyników był rozkładem normalnym).

Xr. ,Y(20,7)

Procent studentów, którzy otrzymali gorszy wynik, tzn. mniej niż 25 punktów: P(X < 25) P(X < 25) = P(^X~²° < ²⁵~²°) Ri P(Z < 0.71) = $(0.71) Ri 0.76 Odp: Około 76% uczniów otrzymało gorszy wynik od owego delikwenta.

Powiązane tematy:

1.    Rozkład normalny- wprowadzenie

2.    Rozkład t-studenta - wprowadzenie

3.    Centralne Twierdzenie Graniczne

4.    Standaryzacja rozkładu normalnego

5.    Triki-tablica N(0,1)

6 myśli nt. „Zadania rozkład normalny"

Sylwus

11 marca 2014 o 14:10

Pewien zakład produkcyjny zatrudnia 100 pracowników, których staż pracy jest zgodny z rozkładem normalnym N(10 lat, 5 lat). Obliczyć ilu pracowników miało staż: a) krótszy niż 3 lata, b) dłuższy niż

Cześć, wrzuciłem rozwiązanie Twojego zadania. Pozdrawiam!

Sylwus

12 marca 2014 o 10:55

Super dzięki serdeczne na bardzo dobre wyjaśnienie wszystkiego

Michał

14 maja 2014 o 17:07

Jeśli byłaby taka możliwość to proszę o rozjaśnienie poniższych przykładów z rozkładu normalnego:

1.    Dokonano pomiaru wagi wśród wylosowanych 150 dzieci. Otrzymane wyniki charakteryzują się rozkładem normalnym o średniej równej 65 kg i wariancją równą 100 kg . W powyższym przykładzie dominanta ma wartość...

2.    Dokonano pomiaru wagi wśród wylosowanych 150 dzieci. Otrzymane wyniki charakteryzują się rozkładem normalnym o średniej równej 65 kg i wariancją równą 100 kg . W badanej grupie wagę powyżej 72 kg posiada prawdopodobnie (z dokładnością do 1 %)?

3.    W teście A o średniej=20 i odchyleniu standardowym=5 Jaś uzyskał wynik= 15. W teście B o średniej 10 i odchyleniu standardowym=3 Jaś uzyskał wynik=8. W którym teście Jaś uzyskał gorszy wynik?

4.    W pewnym teście o wariancji =100 Jaś zdobył 15 pkt. Okazało się, że nieco ponad 84% studentów miało wyniki lepsze od niego. Ile wynosił średni wynik w tym teście ?

5.    Dokonano pomiaru wagi wśród wylosowanych 150 dzieci. Otrzymane wyniki charakteryzują się rozkładem normalnym o średniej równej 65 kg i wariancją równą 100 kg . W badanej grupie wagę poniżej 80 kg posiada w przybliżeniu (zdokładnością do 1 osoby)...

6.    W pewnym teście o średniej równej 50 Jerzy zdobył 62 pkt. Okazało się, że ok. 84,1 % studentów miało wyniki gorsze od niego. Ile wynosi wariancja w tym teście ?

7.    W teście, którego wyniki charakteryzują się średnią równą 20 i odchyleniem standardowym równym 7 pewien słuchacz zdobył 25 punktów. Jaki procent studentów uzyskało gorszy wynik od owego delikwenta ? (rozkład wyników był rozkładem normalnym).

Bardzo proszę i z góry dziękuję za wyjaśnienie.

Wrzuciłem odpowiedzi do 1 i 7.2,5 są podobne do 7 więc sobie poradzisz 3 i 4 zrobię za jakiś czas. Pozdrawiam:)

Sandra

9 czerwca 2014 o 16:19

To świetna strona, bardzo pomocna, jednak nie ze wszystkim sobie radzę. Czy mógłbyś pomóc w takim zadaniu:

. a) Aby otrzymać ocenę dobrą z egzaminu ze statystyki należy prawidłowo rozwiązać 78% do 85% zadań testowych. Zakładając, że wyniki testu dla studentów zdających egzamin w I terminie ma rozkład normalny N(p,o), obliczyć jaki odsetek studentów otrzyma ocenę dobrą w I terminie? b) Ilu studentów należy wylosować do próby, aby z błędem nie przekraczającym x% ocenić odsetek studentów, którzy uzyskają pozytywny wynik egzaminu ze statystyki? Przyjąć poziom ufności y.

p=59 0=8,7 X=4,2 y=0,92

Z góry dziękuję i pozdrawiam.

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Podpis

Witryna internetowa

Komentarz

□    Powiadom mnie o kolejnych komentarzach przez email.

□    Powiadom mnie o nowych wpisach przez email.