97901

W szczególnym przypadku, gdy wszystkie zmienne losowe mają jednakowe wartości oczekiwane p :

n

-H >£ =0

Wzór ten pokazuje jaki jest związek między średnią arytmetyczną, a wartością oczekiwaną.

Jeżeli poszczególne zmienne losowe reprezentują np. wyniki pomiarów jakiejś wielkości, to z tego wzoru wynika, że zwiększając liczbę pomiarów, ich średnia arytmetyczna dąży do wartości oczekiwanej. Uzasadnia to poprawność przyjmowania w wielu przypadkach śr edniej arytmetycznej jako wielkości przybliżającej wartość oczekiwaną.

Twierdzenie graniczne Lindeberga - Levy 'ego

Dane są niezależne zmienne losowe X_rX₂,...,X_n o jednakowych rozkładach. Zmienne te mają parametry: EX_n = p, V(X_n) = o² dla n = 1, 2,...

Suma tych niezależnych zmiennych losowych, to now a zmienna losowa:

Jej wartość oczekiwana wynosi:

ES= E(X_{l +} X₂+...+ X_n) = nn zaś wariancja:    V(S_n) = V(X_x + X₂ +... + X_n) = n ■G~

Utwórzmy nową zmienną losową Y_n przez unormowanie zmiennej losowej S„:

gdzie: <P(a).<P(/>) - dystrybuanty rozkładu normalnego jV(0 ; 1). Oznacza to, że suma S_n ma rozkład asymptotyczme normalny:

S_n - N(np ; o n)

Twierdzenie Moivre'a- Laplace^ya

Dane są niezależne zmienne losowe X,, X₂X_n o jednakowych rozkładach dwupunktowych Bemoulirego B(n,p).

Suma tych niezależnych zmiennych losowych, to nowa zmienna losowa:

S=X_x+X₂+... + X_m

Utwórzmy nową zmienną losową Y_n przez unormowanie zmiennej losowej S„:

_Y _ S_n-np

wówczas zachodzi:

gdzie: 4>(a).<l>(fr) - dystrybuanty rozkładu normalnego A^(0 ; 1).