672581041

Rozkłady brzegowe

Niech (X, Y) będzie wektorem losowym takim, że X, Y £ Z. Z łącznej funkcji prawdopodobieństwa P{x,Y) można wyliczyć funkcje prawdopodobieństwa zmiennych X oraz Y jako zmiennych jednowymiarowych (tzw. rozkłady brzegowe).

Px(i) = Z^p(* = i,Y=j) = Ęk_Wj(U) i    j

py(j) = ^p(^x = i,y=j) = 22p(x,v)(ij)

Przykład 0.4.17 Niech (X, Y) ma funkcję prawdopodobieństwa zadaną tabelą:

P(X,Y)(hj) 0    12    3

1    0.08    0.08    0.06    0

2    0.08    0.16    0.16    0.08

3    0    0.08    0.1    0.12

Wtedy p_x( 1) = 0.22,p_x(2) = 0.48,p*(3) = 0.30 oraz py(0) = 0.16,py(l) = 0.32,p_y(2) = 0.32,p_y(3) =

0.20.

W przypadku zmiennych typu ciągłego, jeśli (X, Y) ma gęstość f{x,y), to gęstości brzegowe zadane są przez:

fx{x)= / f{x,y)dy

Jr

fY(y)= / f{x,y)dx JR

Niezależność zmiennych losowych

Definicja 0.4.8 Niech X, Y £ Z. Zmienne X, Y są niezależne jeśli P(x,Y)(iJ) =Px(i)PY(j) dla wszystkich i,j £ Z.

Definicja 0.4.9 Niech X, Y będą typu ciągłego o gęstości f(x,Y)- Zmienne X,Y są niezależne jeśli Ąx,Y){x,y) = fx{x)f_Y{y) dla wszystkich x,y £ R.

W powyższych przypadkach niezależność zmiennych jest równoważna niezależności zdarzeń A = {u : X(lo) £ ii) i B = {u> : Y(ui) £ I2}, dla dowolnych przedziałów /i,i2, tzn. warunkowi

P(X £ I\,Y £ h) = P(X £ h)P(Y £ h)

15