4736387700

2. Punkty i wektory ekstremalne

1. Niech X C Rⁿ będzie zbiorem wypukłym, c G Mⁿ oraz niech / : X —> R będzie funkcją (liniową) zadaną wzorem f(x) = c^Tx.

(a)    Przypuśćmy, że funkcja / osiąga minimum (odp. maksimum) na zbiorze X. Udowodnić, że funkcja / osiąga to minimum (odp. maksimum) również w pewnym punkcie ekstremalnym.

(b)    Czy funkcja / może osiągać minimum (odp. maksimum) w innych punktach niż ekstremalne? Odpowiedź zilustrować odpowiednim przykładem.

(c)    Czy funkcja / może osiągać minimum (odp. maksimum) na zbiorze nieograniczonym? Odpowiedź zilustrować odpowiednim przykładem.

(d)    Jakie własności musi mieć zbiór X, aby mieć pewność, że

i.    funkcja f ^ 0 nie osiąga żadnego ekstremum na X,

ii.    funkcja / ^ 0 osiaga jedno ekstremum na X, a drugiego ekstremum nie osiąga na X.

iii.    funkcja / ^ 0 osiąga minimum oraz maksimum na X.

2. Znaleźć punkty ekstremalne następujących zbiorów:

(a)	x =	{(*>»)	e R^2	t \x | +	1 V 1 < 1},
(b)	X =	{(x,y)	e R^2	| x^2 + y^2	<2x< 2},
(c)	X =		eR^2	1 %+y >	2, x—2y < 6, x—y < 6, x > (
(d)	X =		z) € R^1 2 | 0 < X		LO VI VI o of VI ^5 VI o VI
(e)	X =			xn) G M^n	1 x\+X2-\-----\-xn < a, Xi >
	1,2,.		gdzie	a > 0.

3

1

   Znaleźć ekstremalne wektory kierunkowe następujących zbiorów:

(a)    X = {{x, y) G R² | y > \ x |, x² + y² < 1},

(b) X = {(z, y, z) G R³ | y > x², x + y + z < 1},

(c) X — {(#, y, z) € M³ | x + y + z < 2, x + y = 1, x, y, z > 0}.

2

   Ile punktów ekstremalnych ma zbiór (a: 6 R" | Ax = 6}, gdzie A jest m x n-macierzą o współczynnikach rzeczywistych oraz b G R^m?