82317

Stronę powierzchni określa zwrot wektora normalnego.

Niech ft(P) =    ~%(^x- .v)’ ¹1 wyznacza stronę dodatnią (oznaczymy 5, )

.a —ń stronę ujemną (.S'_ ).

Xieeh funkcje RQ.R będą ciągłe na płacie powierzchniowym S z zadaną orientacją, a cos a, (“os fi, cos 7 to kosinnsy kątów jakie tworzy wektor normalny (zada jący stronę powierzchni) z osiami układu współrzędnych.

Definicja 9.2 (całka powierzchniowa zorientowana) Całkę

oznaczamy inaczej przez ff_s Pdydz + Qdzdx + fi dxdy i nazywamy całką po-trierzchniową zorientowaną z funkcji [P,Q.R] po powierzchni zorientowanej S.

Własności:

1.    //«,_ Pdydz + Qdzdr -ł- Rdxdy = - ff_s+ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy

2.    ffs Rdxdy = ff_s R cos*/dS = ff,_} R(x_iy_if{x_iy))dxdy

Definicja 9.3 Sumę piatów powierzchniowych gładkich zorientowanych nazywamy powierzchnią gładką zorientowaną.

Całkę powierzchniową zorientowaną po dowolnej powierzchni zorientowanej określamy jako sumę. całek po poszczególnych płatach tej powierzchni.

Przykłady:

1. Niech wektor l(.c, y, z) = [F(x, y. z).Q(x,y. z), R(x.y. z)\ określa prędkość przepływu cieczy przez powierzchnię S od strony ujemnej do dodatniej. Wtedy wartość całki

f f rdydz + Qdzd.f + Tld rdy = J f V(x, y,•

równa jest ilości cieczy jaka przepływa przez powierzchnię S (w jednostce czasu) od strony ujemnej do dodatniej .

2. Obliczyć całkę ff_Sl x^Ł dydz-ł-xy dzdx4-zx dxdy, gdzie 5+ jest dodatnią stroną powierzchni x + y + z = 1 leżącej w pierwszym oktancio przestrzeni. Wektor normalny do płata powierzchniowego z = 1 — x — y ma stałe współrzędne h = [1,1,1], stąd roso = cos3 = cos7 = i

X¹ + xy + zz

18