39267 Strona
2

X

Rys. 17.9    -

'7-7

Jcieli a, p, y oznaczają kąty, które wektor normalny do powierzchni S skierowany na zewnątrz obszaru V tworzy odpowiednio z osiami Ox, Oy, Oz^to wzór (3.1) może być 'napisany w postaci:    '

m

BP

3x

8Q_

By

BR

dz

j dxdydz = W* cos a + Q cos P +.R cos y) dS.

I ’ (3.10

I

Uwaga I. Wzór Gaussa-Ostrogradskiego pozwala całkę potrójną po obszarze V zamienić na całkę powierzchniową zorientowaną po brzegu tego obszaru i na odwrót, i Uwaga 2. Wzór (3.1) jest słuszny dla obszarów, które dają się podzielić na skończoną ■ ilość obszarów normalnych względem płaszczyzn układu współrzędnych.

! Definicja. Niech w pewnym obszarze przestrzennym będzie określone ciągle pole wektorowe: • •

(3.2)    W = P(x, y, r) i -f Q(x, y, z) j + R(x, y, z) k. ’

Weźmy zorientowaną powierzchnię S, zawartą w rozważanym obszarze. Niech cos n, cos p, cos y oznaczają cosinusy kierunkowe odpowiedniego wektora normalnego do powierzchni £ Przy tych oznaczeniach całkę powierzchniową zorientowaną postaci:

(3.3)    (\ [h(x, y, z) cos a + Q(x, y, r) cos P + R(x, y, z) cos y) dS s

nazywamy strumieniem wektora pola W przez powierzchnię zorientowaną S. Wyrażenie podcałkowe:

•    •    .    I

W_m = P(x, y, z) cos a + Q(x, y, z) cos p + R(x, y, :) cos y

jest, jak wiadomo, składową skalarną wektora pola W(P, Q, R) wzdłuż normalnej n(cos a, cos P, cos y) do powierzchni. Wobec tego strumień wektora W przez powierzchnię zorientowaną 5 możemy określić wzorem:

(330

H w.as.

s

Twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego w terminologii pola wektorowego. Całka potrójn^a z rozbieżności wektora pola W po obszarze przestrzennym V, ograniczonym powierzchnią zamkniętą S, równa się strumieniowi wektora pola W przez powierzchnię 5 zorientowaną na zewnątrz obszaru V, co zapisujemy krótko w postaci wektorowej:

(3.4)

J $ (div W dxdydz = $ $ W, dS.

r'    s

ZADANIA PRZYKŁADOWE

Zadanie 3.1. Opierając się na wzorze Gaussa-Ostrogradskiego obliczyć całkę:

/ = $ \ x*dy di + yVzdx + -*dx dy,

's    ■ •

gdzie S jest zewnętrzną stroną powierzchni sześcianu:

V a

0<y<a

0^z<<r.

Rozwiązanie. W zadaniu naszym:

(1)	P(x, y, z) =	Q(x. y. 2) = y^4,
Stąd:		-
(2)	bP , , 1* ^= 4*'	i£ = 4y^3 « by ‘ cz

/?(*. y. 2) = z*.'

Podstawiając (1) i (2) do wzoru (3.1) otrzymujemy, że:

(3) J — (\ x* dy dz — y*dz dx + z*dx dy = $ $ $ (dc¹' -f 4y³ -f 4;³) dx dy dz.

5    * V .

Następnie obliczamy całkę potrójną po sześcianie V:

a a a

4 J $ J (x³ y³ t :^!) dx dy dl = 4 $ $ j (a³ y³ + z³) dl dx dy = 6<J⁶.

(4)

u u o

Wstawiając (4) do (3), mamy odpowiedź:

J — \ (x* dy dz + y*dz dx 4- z* dx dy = 6a*.

Zadanie 3.2. Obliczyć całkę powierzchniową:

J = j J 4.t³ dy dz -f- 4y³ dz dx — 6r* dx dy, z

gdzie S jest zewnętrzną stroną powierzchni bryły ograniczonej powierzchnią walcową X¹ y¹ = a² oraz plaszafjWlJlŚl®^' = 0 i z = h, h>0.

109