82316

a wektor

fi(Po) = [-^(.Po,?/o),--^{X(\:Ua), 1 ]

jest wektorom normalnym do tej powierzchni w punkcie P_(l.

Uwaga:

Zwrot wektora normalnego określa stronę powierzchni. Piat powierzchniowy jest pow i er/rh n i ą d wusl ron n ą.

Przykładem powierzchni jednostronnej jest wstęga Mobiusa.

8.1 Pole płata powierzchniowego.

Zamknijmy obszar T) w prostokącie P, podzielmy P na skończoną liczbę prostokątów i oznaczmy A|....A_P części wspólne z D tych prostokątów pod/.iału.dla których te przekroje są niepuste.

(Pola obszarów A* będziemy oznaczać tym samym symbolem.)

Dla każdego k = 1.2. ..,p wybieramy punkty (a;*. y_k) € A* i oznaczamy Ph = (xk>VkJ{?k,Vk))'

Niech A.Sfc oznacza czworokąt (i jego pole) leżący na płasz<*zyźnic stycznej do powierzchni S w punkcie P_k, którego rzutem na Oxv jest A/.., a 7* kąt między osią Oz i wektorem normalnym do płaszczyzny stycznej do S w punkcie P_k.

Skoro n(P_k) = [-!£(**, Jfc),    1 ] to

1

cos 7*

A S_k

\

1 +

k

Pole piata S jest w przybliżeniu równe sumie

A *

1 +

Zauważmy. że ^jl +    € R{D) .

Stąd prawdziwe jest

Twierdzenie 8.1

Pole piała powierzchniowego gładkiego (*) wyraża się wzorem

|S| = JJ_D v/l + UW + U'_v)‘d.rdy

Przykład:

Znaleźć pole piata powierzchniowego wyciętego walcem r² + y² = a² ze sfery

16